Campo algebricamente chiuso
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In matematica, un campo F è detto algebricamente chiuso se ogni polinomio di grado almeno 1, a coefficienti in F, ha una radice in F (cioè un elemento x tale che il valore del polinomio in x è l'elemento neutro dell'addizione in F).
Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale
- 3x2 + 1 = 0
non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il teorema fondamentale dell'algebra.
[modifica] Proprietà equivalenti
Dato un campo F, l'affermazione “F è algebricamente chiuso” è equivalente ad ognuna delle seguenti:
- Ogni polinomio p(x) di grado n ≥ 1, a coefficienti in F, è decomponibile in fattori lineari. In altre parole, vi sono elementi k, x1, x2, …, xn del campo F tali che
-
- p(x) = k(x − x1)(x − x2) ··· (x − xn).
- Il campo F non possiede estensioni algebriche proprie.
Entrambe le caratterizzazioni di cui sopra vengono talvolta assunte come definizione.
[modifica] Altre proprietà
Ogni campo F ha una "chiusura algebrica", vale a dire un più piccolo campo algebricamente chiuso nel quale F è un sottocampo. La chiusura algebrica di ogni campo è unica a meno di isomorfismi non canonici. In particolare il campo dei numeri complessi è una chiusura algebrica del campo dei numeri reali. Inoltre, il campo dei numeri algebrici è la chiusura algebrica del campo dei numeri razionali.
