Chiusura algebrica

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In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo $K$ è un altro campo, contenente il precedente, ottenuto "aggiungendo tutte le radici di tutti i polinomi" a coefficienti in $K$ .

Più precisamente, è una estensione algebrica di $K$ che è algebricamente chiusa.

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: per questo motivo si parla della chiusura algebrica di $K$ , invece di una chiusura algebrica di $K$ .

[modifica] Esempi

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che la chiusura algebrica del campo dei numeri reali è il campo dei numeri complessi.

La chiusura algebrica del campo dei numeri razionali è il campo dei numeri algebrici.

Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi, contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di Q(π).

Per un campo finito di ordine primo p, la chiusura algebrica è un campo numerabile che contiene una copia del campo di ordine pⁿ per ogni intero positivo n (ed è di fatto l'unione di queste copie).

[modifica] Esistenza ed unicità

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo K è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di K.

[modifica] Proprietà

La chiusura algebrica di un campo K può essere vista come la più grande estensione algebrica di K. Infatti, se L è un'estensione algebrica di K, allora la chiusura algebrica di L è anche la chiusura algebrica di K, e quindi L è contenuta nella chiusura algebrica di K.

La chiusura algebrica di K è anche il più piccolo campo algebricamente chiuso contenente K, perché se M è un campo algebricamente chiuso contenente K, allora gli elementi di M algebrici su K formano una chiusura algebrica di K.