Numero algebrico

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In matematica, un numero algebrico è un numero reale o complesso che è soluzione di un'equazione polinomiale della forma:

a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ··· + a₁x + a₀ = 0

dove n > 0, ogni a_i è un intero, e a_n è diverso da 0.

Tutti i numeri razionali sono algebrici perché ogni frazione a / b è soluzione di bx − a = 0. Anche alcuni numeri irrazionali come 2^1/2 (la radice quadrata di 2) e 3^1/3/2 (la radice cubica di 3 divisa per 2) sono algebrici perché radici, rispettivamente, di x² − 2 = 0 and 8x³ − 3 = 0. Ma non tutti i numeri reali sono algebrici, vedi ad esempio π e e.

Se un numero reale (o complesso) non è un numero algebrico, viene chiamato numero trascendente. Se un numero algebrico soddisfa un'equazione come quella data sopra con un polinomio di grado n e nessuna equazione di grado inferiore, allora si dice che il numero è un numero algebrico di grado n.

[modifica] Il campo dei numeri algebrici

Le operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di due numeri algebrici generano ancora numeri algebrici, pertanto essi formano formano un campo. Si può dimostrare che se ammettiamo che i coefficienti a_i siano numeri algebrici qualsiasi, allora ogni soluzione dell'equazione sarà ancora un numero algebrico. Ciò può essere espresso in altre parole dicendo che il campo dei numeri algebrici è algebricamente chiuso. Infatti, è il più piccolo campo algebricamente chiuso che contiene i numeri razionali, ed è quindi chiamato la chiusura algebrica dei razionali.

[modifica] Numeri definiti da radicali

Tutti i numeri che possono essere scritti usando un numero finito di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radici n-esime (dove n è un intero positivo) sono algebrici. L'inverso, tuttavia, non è vero: ci sono numeri algebrici che non possono essere scritti in questa maniera. Tutti questi numeri sono le soluzioni delle equazioni polinomiali di grado superiore al quarto. Questo è un risultato della teoria di Galois.

[modifica] Interi algebrici

Un numero algebrico che soddisfa un'equazione polinomiale di grado n con a_{n _{= 1 (cioè, un polinomio monico a coefficienti interi), è chiamato intero algebrico. Esempi di interi algebrici sono 3√2 + 5 e 6i - 2.}}

_{Somma, differenza e prodotto di interi algebrici sono di nuovo interi algebrici, che implica che gli interi algebrici formano un anello. Il nome intero algebrico è dovuto al fatto che gli unici numeri razionali appartenenti a questa classe sono gli interi.}

_{Se K è un campo numerico, il suo anello di interi è il sottoanello degli interi algebrici in K.}