Anello euclideo
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In algebra, un anello euclideo è un anello commutativo su cui è possibile effettuare l'algoritmo di Euclide.
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[modifica] Definizione
Un dominio d'integrità D è un anello euclideo se è possibile definire una funzione v che associa ad ogni elemento non nullo a di D un intero non negativo v(a) con la proprietà seguente:
Se a e b sono in D e b è diverso da zero, allora ci sono q e r in D tali che:
- a = bq + r,
con r = 0 oppure v(r) < v(b).
In pratica, tale proprietà dice che è sempre possibile effettuare una divisione fra due numeri non nulli a e b, avente quoziente q e resto r, tale che il resto r sia "più piccolo" di b: esattamente quanto accade con i numeri interi. L'essere "più piccolo" è realizzato dalla funzione v, detta valutazione.
[modifica] Esempi
[modifica] Anelli euclidei
- l'anello Z degli interi, con v(n) = |n| il valore assoluto di n;
- l'anello Z[i] degli interi gaussiani, con v(a+bi) = a2+b2;
- l'anello K[X] dei polinomi a coefficienti in un campo K, con v(p) uguale al grado del polinomio p;
- l'anello K[[X]] delle serie formali di potenze a coefficienti in un campo K, con v(f) uguale al grado del più piccolo monomio presente nella serie f.
- un campo qualsiasi, semplicemente con v(x) = 1 per ogni x.
[modifica] Anelli non euclidei
- un anello che non è ad ideali principali non è neppure euclideo. Più difficile è trovare un anello ad ideali principali che non sia euclideo: un esempio è dato da
![\Bbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]](../../../math/3/4/8/348718f01af0d987f73c58815fd1be33.png)
[modifica] Proprietà
Sia A un anello euclideo.
- A è un anello ad ideali principali. Infatti ogni ideale I è generato da uno qualsiasi degli elementi in I avente valutazione minima;
- l'algoritmo di Euclide per trovare il massimo comune divisore fra due elementi funziona in A;
- è possibile trovare una valutazione su A tale che v(ab) ≥ v(a) per ogni a e b non nulli;
- poiché A è ad ideali principali, è anche un anello a fattorizzazione unica: una valutazione con la proprietà v(ab) ≥ v(a) può essere usata per trovare direttamente la fattorizzazione.
