Matrice dei cofattori

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Data una matrice quadrata A, la sua matrice dei cofattori (detta anche dei complementi algebrici), è un'altra matrice quadrata il cui elemento generico in posizione $i, j$ è il cofattore o complemento algebrico di A sempre in posizione $i, j$ . Tale cofattore si calcola così:

$\mathrm{cof}(A,i,j) = (-1)^{i+j} \cdot \mathrm{det}(\mathrm{minore}(A,i,j))$ .

Qui $det(minore(A, i, j))$ rappresenta il determinante del minore di A ottenuto cancellando la riga $i$ -esima e la colonna $j$ -esima. Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:

$\begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,1,1) & \ldots & \mathrm{cof}(A,1,n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,n,1) & \ldots & \mathrm{cof}(A,n,n) \\ \end{pmatrix}$

Indice

1 Trasposta
2 Proprietà
3 Esempi
- 3.1 Calcolo di cofattori
- 3.2 Matrice trasposta
4 Voci correlate

[modifica] Trasposta

La trasposta della matrice dei cofattori è a volte chiamata matrice aggiunta (benché questo termine indichi normalmente la matrice trasposta coniugata) ed è indicata con l'operatore $a d j$ , dall'inglese adjugate. Quindi:

$\mathrm{adj}\,A = \begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,1,1) & \ldots & \mathrm{cof}(A,n,1) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,1,n) & \ldots & \mathrm{cof}(A,n,n) \\ \end{pmatrix}$

[modifica] Proprietà

La matrice dei cofattori trasposta soddisfa le proprietà seguenti.

$adj(I) = I$
$adj(A B) = adj(B)adj(A)$
se $I$ è la matrice identità, vale l'uguaglianza

$A adj(A) = adj(A) A = det(A), I$

conseguenza dello sviluppo di Laplace. Quindi se $A$ è invertibile, l'inversa è data da

$A - 1 = det(A) - 1 adj(A)$
$det(adj(A)) = det(A) n - 1$

[modifica] Esempi

[modifica] Calcolo di cofattori

Consideriamo la matrice

$\begin{bmatrix}-2&2&-3\\ -1& 1& 3\\ 2 &0 &-1\end{bmatrix}$

e calcoliamo alcuni cofattori

$\mathrm{cof}(A,1,2)=(-1)^{1+2} \cdot \det \begin{bmatrix}-1&3\\ 2 &-1\end{bmatrix}=(-1)\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot3)= 5$

$\mathrm{cof}(A,2,2)=(-1)^{2+2} \cdot \det \begin{bmatrix}-2&-3\\ 2&-1\end{bmatrix}=1\cdot((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3))=8.$

Si procede analogamente per gli altri sette cofattori.

[modifica] Matrice trasposta

Esempio di calcolo di matrice dei cofattori trasposta:

$\operatorname {adj}\begin{pmatrix} 2& 1&1\\ 0&-1&2\\ 0&2&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3&3&3\\ 0&-2&-4\\ 0&-4&-2 \end{pmatrix}$

Più in generale, data

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}$ ,

la sua matrice dei cofattori trasposta è

$\mbox{adj}(A) = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$ .

dove

$\left| \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right|=\det\left( \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right).$