Adjungált (mátrixinvertálás)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ez a szócikk a mátrixok inverzének kiszámításánál szereplő adjungált mennyiségről szól, vagyis a „klasszikus adjungáltról”. A komplex lineáris algebra adjungáltfogalma, vagyis a konjugált transzponált az adjungált (komplex algebra) szócikkben található.

A matematikában, közelebbről a lineáris algebrában egy négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük a mátrix előjeles aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltját. Az adjungálás tehát a négyzetes mátrixokon értelmezett operáció, mely mátrixhoz mátrixot rendel. Legfontosabb alkalmazása, hogy segítségével tömör formában fejezhető ki egy invertálható mátrix inverze.

[szerkesztés] Definíció

Egy A kvadratikus (négyzetes, azaz n×n-es) mátrix adjungáltján a következő eljárással elkészített mátrixot értjük:

felírjuk az A mátrix aldeterminánsmátrixát vagy minormátrixát, vagyis azt az A^min mátrixot, melynek i,j-edik eleme annak a mátrixnak a determinánsa, melyet az A i-edik sorának és j-edik oszlopának törlésével keletkezik;
az A^min mátrix elemeinek előjelét a „sakktáblaszabály” szerint megváltoztatjuk, azaz az i,j-edik elemnek a (−1)^i+j értéket adjuk, ekkor nyerjük az előjeles aldeterminánsmátrixot, azaz a (A^min)^± mátrixot;
majd ezt a mátrixot transzponáljuk, azaz elemeit a főátlóra tükrözzük: ((A^min)^±)^T

Így kapjuk az

$\mathrm{adj}(A)\,$ -val

jelölt adjungált mátrixot.

Az adjungált mátrix definíciójának értelmét az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó tétel bizonyításában találhatjuk.

[szerkesztés] Példa

Legyen A a következő négyzetes mátrix:

$A:=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ 2 & -1 & 1\\ -1 & 0 & -3 \end{bmatrix}$

[szerkesztés] Aldetermináns-mátrix

Készítsük el az aldeterminánsmátrixot, azaz a minormátrixot! Az A^min mátrix elemeit – a $\mbox{ }_{\blacksquare}$ helyen álló elemet – tehát úgy kapjuk az A elemeiből, hogy az i-edik sort és j-edik oszlopot törtöljük (ezek a $\mbox{ }_{\Box}$ helyek) és a maradék mátrix determinánsát számítjuk ki. Az aldetermináns mátrix elemei a következő determinánsok lesznek:

$A^{min}=\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} \blacksquare & \Box & \Box \\ \Box & -1 & 1 \\ \Box & 0 & -3 \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} \Box & \blacksquare & \Box \\ 2 & \Box & 1 \\ -1 &\Box & -3 \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} \Box & \Box& \blacksquare \\ 2 & -1& \Box \\ -1 &0&\Box \\ \end{vmatrix}\\\\ \begin{vmatrix} \Box & -2 & 1 \\ \blacksquare & \Box & \Box \\ \Box & 0 & -3 \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 1 & \Box & 0 \\ \Box & \blacksquare & \Box \\ -1 &\Box & -3 \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 1 & -2& \Box \\ \Box & \Box& \blacksquare \\ -1 &0&\Box \\ \end{vmatrix}\\\\ \begin{vmatrix} \Box & -2 & \;\;0 \\ \Box & -1 & \;\;1 \\ \blacksquare & \Box & \Box \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} \;\;1 & \Box & \;\;0 \\ \;\;2 &\Box & \;\;1 \\ \Box & \blacksquare & \Box \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 1\;\; & -2& \Box \\ 2\;\; &-1&\Box \\ \Box & \Box& \blacksquare \\ \end{vmatrix}\\ \end{bmatrix}$

Tehát a 2×2-es determinánsok kiszámítása után:

$A^{min}=\begin{bmatrix} 3 & -5 & -1\\ 6 & -3 & -2\\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

[szerkesztés] Előjeles aldetermináns-mátrix

A „sakktáblaszabály” alapján a következő formális mátrix mutatja, hogy hol kell megváltoztatni az előjelet (–) és hol nem (+)

$\begin{bmatrix} +&-&+&\dots&\pm\\ -&+&-& &\mp\\ +&-&+&\dots&\pm\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ \pm&\mp&\pm&\dots&+ \end{bmatrix}$

Tehát

$(A^{min})^{\pm}=\begin{bmatrix} 3 & 5 & -1\\ -6 & -3 & 2\\ -2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$

[szerkesztés] Transzponált

A transzponálás, a mátrix elemeinek a főátlóra történő tükrözése – az első sorból lesz az első oszlop, a második sorból a második oszlop, ... Tetszőleges kvadratikus mátrixnál tehát ez az operáció:

$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}\;\;\longrightarrow\;\; \begin{bmatrix} a_{11}&a_{21}&a_{31}&\dots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}& &a_{n2}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}&\dots&a_{n3}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&a_{3n}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}$

Így az adjungált:

$\mathrm{adj}A=((A^{min})^{\pm})^{T}=\begin{bmatrix} 3 & -6 &-2 \\ 5 & -3 & -1\\ -1 & 2& 3 \end{bmatrix}$

[szerkesztés] Inverz mátrix képlet

Egy invertálható A mátrix esetén az A^-1 inverz a következőképpen írható fel:

$A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\,A}{\mathrm{det}\,A}$

ahol a det A számmal való osztás az A invertálhatósága miatt elvégezhető, hiszen ekkor ez nem nulla.

Bizonyítás. Elég belátni, hogy

A $\cdot$ adj(A) = det(A) $\cdot$

I

ahol $I$ az egységmátrix. Ha az előjeles aldetermináns-mátrix értékeit ±M_ji-vel jelöljük (a minormátrix megfelelő előjellel ellátott transzponáltja), akkor a mátrixszorzat szokásos táblázatos ábrázolásában a következő egyenlőséget kell igazolnunk:

$\begin{matrix} & \begin{bmatrix} +M_{11}&-M_{21}&+M_{31}&\dots&\pm M_{n1}\\ -M_{12}&+M_{22}&-M_{32}& &\mp M_{n2}\\ +M_{13}&-M_{23}&+M_{33}&\dots&\pm M_{n3}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ \pm M_{1n}&\mp M_{2n}&\pm M_{3n}&\dots&+M_{nn} \end{bmatrix}\\\\ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} \mathrm{det}\,A\; &0&0&\dots&0\\ 0&\mathrm{det}\,A\;&0& &0\\ 0&0&\mathrm{det}\,A\;&\dots&0\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&\mathrm{det}\,A\; \end{bmatrix} \end{matrix}$

Az adjungált pont úgy lett megszerkesztve, hogy pontosan illeszkedjék a determinánsok kifejtési tételéhez (illetve a ferde kifejtési tételhez). Ha az A i-edik (a_i1,a_i2,a_i3,...,a_in) sorát az adjungált i-edik ((-1)ⁱ⁺¹M_i1,(-1)ⁱ⁺²M_i2,(-1)ⁱ⁺³M_i3,...,(-1)ⁱ⁺ⁿM_in) oszlopával szorzunk, akkor pont azokat az elemeket kell egymással összeszorozni, amely szorzatoknak az összege a kifejetési tételben a determinánst adja. Ezért a szorzat i,i-edik eleme, azaz tetszőleges főátlóbeli elem maga az A determinánsa lesz. A ferde kifejtési tétel szerint a determinánst úgy fejtve ki, hogy egy sort a nem hozzá tartozó „aldetermináns-oszloppal” szorzunk be, mindig 0-t kapunk, azaz a főátlón kívül csupa 0 lesz. ■

[szerkesztés] Adjungált-képlet

A Caley–Hamilton-tétel következményeként egy mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának. Ezekben a polinomokban a konstans tag mindig a mátrix determinánsa, így (invertálható esetben) az inverzmátrixal történő beszorzás után, ebből a konstans tagból a det(A) $\cdot$ A^-1 = adj(A) mátrixot kapjuk. A karakterisztikus egyenlet változójának helyére az A mátrixot helyettesítve és az inverzel beszorozva tehát kifejezhető az adjungált. Sőt, ez az így nyert formula szinguláris mátrix esetén is fennáll. Ez a formula a 2×2-es esetben:

$\mathrm{adj}\,A=-A+\mathrm{trace}(A)\cdot I$ ,