Misura (matematica)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica una misura è una funzione che assegna un numero reale non negativo a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione; in particolare si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilità ad eventi. La teoria della misura è la branca dell'analisi reale che studia sigma-algebre, spazi misurabili, insiemi misurabili, misure, funzioni misurabili ed integrali. La teoria astratta della misura ha come casi particolari la teoria della probabilità, e trova numerose applicazioni in diversi settori della matematica pura^[1] ed applicata.

La nozione di misura, e quelle ad essa correlate, sono nate a cavallo tra il XIX secolo ed il XX secolo, nell'ambito appunto della formalizzazione della teoria della misura^[2].

[modifica] Definizioni formali

Formalmente una misura numerabilmente additiva μ è una funzione definita sopra una sigma-algebra $\mathfrak{F}$ di sottoinsiemi di un certo insieme $X$ con valori nell'intervallo esteso $[0, \infty]$ tale da soddisfare le seguenti proprietà:

L'insieme vuoto ha misura nulla:

$\mu(\emptyset) = 0$ .

Additività numerabile o σ-additività: se E₁, E₂, E₃, ... è una successione di insiemi mutuamente disgiunti in $\mathfrak{F}$ ,

$\mu(\bigcup_{i=1}^{+\infty} E_i) = \sum_{i=1}^{+\infty} \mu(E_i)$ .

I membri di $\mathfrak{F}$ sono detti insiemi misurabili e la struttura $(X, \mathfrak{F}, \mu)$ viene detta spazio di misura. Le proprietà seguenti possono essere derivate dalla definizione precedente.

Monotonicità: Se E₁ ed E₂ sono insiemi misurabili

$E_1 \subseteq E_2 ~\Longrightarrow~ \mu(E_1) \leq \mu(E_2) \,\!$

Se E₁, E₂, E₃, ... sono insiemi misurabili ed E_n è un sottoinsieme di E_n+1 per tutti gli n, allora l'unione degli insiemi E_n è misurabile

$\mu(\bigcup_i E_i) = \lim_i \mu(E_i)$

Se E₁, E₂, E₃, ... sono insiemi misurabili ed E_n+1 è un sottoinsieme di E_n per tutti gli n, allora l'intersezione degli insiemi E_n è misurabile; inoltre se almeno uno degli E_n ha misura finita, allora

$\mu(\bigcap_i E_i) = \lim_i \mu(E_i)$

[modifica] Misure sigma-finite

Uno spazio di misura $(X,\mathfrak{F},\mu)$ si dice finito se $μ(X)$ è un numero reale finito (e non infinito). Si dice invece σ-finito se X è l'unione numerabile di insiemi misurabili di misura finita. Un insieme in uno spazio di misura si dice avere misura σ-finita se è una unione numerabile di insiemi di misura finita.

Per esempio i numeri reali con la usuale misura di Lebesgue sono σ-finiti ma non finiti. Si considerino gli intervallo chiuso [k,k+1] per tutti gli interi k; vi è un insieme contabile di tali intervalli, ciascuno avente misura 1, e la loro unione è l'intera retta reale. Alternativamente, si considerino i numeri reali con la misura di conteggio, che assegna ad ogni insieme finito di numeri reali il numero di punti nel'insieme. Questa misura non è σ-finita, in quanto ogni insieme con misura finita contiene solo un insieme finito di punti e sarebbe necessario un insieme non numerabile di tali insiemi per coprire l'intera retta reale. Gli spazi di misura σ-finita risultano avere alcune proprietà molto apprezzabili; la σ-finitezza può essere confrontata alla separabilità degli spazi topologici.

[modifica] Completezza

Un insieme misurabile S è chiamato insieme di misura nulla se μ(S) = 0. La misura μ è chiamata completa se ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile (e di conseguenza esso stesso risulta insieme di misura nulla).

È banale estendere una misura ad una completa; basta considerare la σ-algebra di sottoinsiemi S' che differisce per un insieme di misura nulla da un insieme S misurabile, che è tale che la differenza simmetrica tra S ed S' è nulla.

[modifica] Esempi

Alcune importanti misure sono brevemente introdotte qui di seguito.

La misura di conteggio è definita da μ(S) := numero di elementi nell'insieme S.
La misura di Lebesgue è l'unica misura completa invariante per traslazione sopra una sigma algebra contenente gli intervalli in R tale che μ([0,1]) = 1.
La misura di Haar per un gruppo topologico localmente compatto è una generalizzazione della misura di Lebesgue ed ha una proprietà di unicità simile alla precedente
La misura zero è definita da μ(S) := 0 per ogni insieme S.
Ad ogni spazio di probabilità si associa una misura che assume il valore 1 sull'intero spazio (e di conseguenza assume tutti i suoi valori nell'intervallo unitario [0,1]). Questa misura viene detta misura di probabilità. Vedi anche assiomi della probabilità.

Altri esempi: misura deltiforme.

[modifica] Generalizzazioni

Per certe attività risulta utile disporre di varianti della misura vista in precedenza che possa assumere valori non ristretti ai reali non negativi o a + infinito. Innanzi tutto servono funzioni su insiemi numerabilmente additive che assumono valori dati da numeri reali (con segno): servono ad es. aree e volumi negativi; queste sono chiamate misure con segno. Funzioni su insiemi numerabilmente additive che possono assumere valori complessi si dicono misure complesse. Si studiano poi misure con codominio in uno spazio di Banach chiamate misure spettrali; queste sono usate principalmente in analisi funzionale per enunciati del genere teorema spettrale. Per distinguere le usuali misure a valori positivi dalle generalizzazioni le si chiama "misure positive".

Altre generalizzazioni sono le 'misure finitamente additive. Queste differiscono dalle precedenti in quanto invece della additività numerabile posseggono soltanto la additività finita. Storicamente questa definizione è stata usata per prima, ma non si è rivelata sufficientemente utile. Si rivela che in generale, le misure finitamente additive sono collegate a nozioni come quella dei limiti di Banach, la duale dello spazio L^∞ e della compattificazione di Stone-Čech. Tutte queste nozioni sono collegate, più o meno direttamente, all'assioma della scelta.

L'importante risultato della geometria integrale noto come teorema di Hadwiger stabilisce che lo spazio delle funzioni di insieme non necessariamente non negative invarianti per traslazione e finitamente additive definite sopre le unioni finite di insiemi compatti convessi in Rⁿ consiste (a meno di multipli scalari) di una "misura" che è "omogenea di grado k" per qualsiasi k=0,1,2,...,n e di combinazioni lineari di tali "misure". La specificazione "omogeneo di grado k" significa che riscalando di un qualsiasi fattore c>0 tutti gli insiemi si moltiplica la "misura" di insieme per c^k. La misura omogenea di grado n è l'ordinario volume n-dimensionale. Quella omogenea di grado n-1 è il "volume di superficie". Quella omogenea di grado 1 è una misteriosa funzione chiamata, con un termine piuttosto oscuro, "ampiezza media". La misura omogenea di grado 0 è la caratteristica di Euler.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Patrick Billingsley. Probability and measure. 3rd edition. New York, John Wiley & Sons, 1995. ISBN 0-471-00710-2.

Carl B. Boyer. History of Mathematics. 2nd edition. New York, John Wiley & Sons, 1989. ISBN 0-471-54397-7

Donald L. Cohn. Measure Theory. Boston, Birkhäuser, 1980. ISBN 0-849-37157-0

Paul R. Halmos. Measure Theory. New York, Springer-Verlag, 1974. ISBN 0-387-90088-8

Eric M. Verstrup. The Theory of Measures and Integration. Hoboken, John Wiley & Sons, 2003. ISBN ISBN 0-471-24977-7

[modifica] Note

↑ Per approfondire si vedano ad esempio le voci misura di Lebesgue ed integrazione di Lebesgue.
↑ Un breve resoconto dello sviluppo storico della teoria della misura e dell'integrazione si trova in Boyer History of Mathematics, cap. 28.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../m/i/s/Misura_%28matematica%29.html"

Categoria: Teoria della misura