Teoria della probabilità
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La teoria della probabilità è lo studio matematico della probabilità.
I matematici si riferiscono alle probabilità come a numeri nell'intervallo da 0 a 1, assegnati ad "eventi" la cui ricorrenza è casuale. Le probabilità P(E) sono assegnate ad eventi E secondo gli assiomi della probabilità.
La probabilità che un evento E avvenga data la ricorrenza nota di un evento F è la probabilità condizionale di E dato F; il suo valore numerico è 
(finché P(F) è diverso da zero). Se la probabilità condizionale di E dato F è la stessa della probabilità ("non condizionale") di E, allora E ed F sono detti eventi indipendenti. Che questa relazione tra E and F sia simmetrica, può essere visto più chiaramente osservando che è la stessa cosa che dire 
.
Due concetti cruciali nella teoria della probabilità sono quelli di variabile casuale e di distribuzione probabilistica di una variabile casuale.
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[modifica] Una visione astratta della probabilità
I matematici ritengono che la teoria della probabilità sia lo studio di uno spazio astratto di probabilità (su cui sono ad esempio definite le variabili casuali), un approccio introdotto da Kolmogorov nel 1930 (anche detto approccio assiomatico). Uno spazio di probabilità è una terna 
, dove
- Ω è un insieme non vuoto, a volte chiamato spazio campionario, ognuno dei cui membri si può pensare come un potenziale risultato di un esperimento casuale. Per esempio, se 100 votanti devono essere estratti a caso tra tutti i votanti di un insieme e ad essi viene chiesto per chi voteranno, allora l'insieme di tutte le sequenze dei 100 votanti sarebbe lo spazio campionario Ω.
è una sigma-algebra di insiemi di Ω i cui elementi sono chiamati eventi. Per esempio, l'insieme di tutte le sequenze di 100 elettori di cui almeno 60 voteranno per un certo candidato viene identitificato con l'"evento" che almeno 60 dei 100 elettori estratti voteranno in quel dato modo. Dire che F è una sigma-algebra implica necessariamente che il complemento di ogni evento è un evento, e l'unione di ogni sequenza (finita o infinita numerabile) di eventi è un evento.
- P è una misura della probabilità in F, cioè una misura tale per cui P(Ω) = 1.
È importante notare che P è definita in F e non in Ω. Con Ω denumerabile possiamo definire F := insieme di potenza(Ω) che è banalmente una sigma-algebra ed il più grande che si possa creare usando Ω. In uno spazio discreto possiamo quindi omettere F e scrivere solo (Ω, P) per definirlo.
Se d'altra parte Ω è non denumerabile e si usa F = insieme di potenza(Ω) cadiamo nella difficoltà di definire la nostra misura di probabilità P perché F è 'immenso'. Quindi dobbiamo usare una sigma-algebra F più piccola (per esempio l'algebra di Borel di Ω). Si definisce questo tipo di spazio probabilistico uno spazio probabilistico continuo e ci porta alcuni problemi nella teoria della misura quando proviamo a definire P.
Una variabile casuale è una funzione misurabile in Ω. Per esempio, il numero di elettrori che voteranno per un dato candidato nel campione di 100 dell'esempio precedente è una variabile casuale.
Se X è una variabile casuale, l'insieme { ω in Ω : X(ω) ≥ 60 } è un "evento", e la notazione P(X ≥ 60) è un'abbreviazione di P({ ω in Ω : X(ω) ≥ 60 }).
Per una alternativa algebrica all'approccio di Kolmogorov, vedi algebra delle variabili casuali.
[modifica] Filosofia delle applicazioni della probabilità
Alcuni statistici assegneranno delle probabilità solo agli eventi che si pensano essere casuali, in base alle loro frequenze relative, o a sottoinsiemi di popolazione in relazione al tutto; questi sono frequentisti. Altri assegnano probabilità a proposizioni incerte o secondo gradi soggettivi di confidenza nella loro verità, o a livelli logicamente giustificabili di confidenza nella loro verità. Tali persone sono Bayesiani. Un Bayesiano può assegnare una probabilità alla proposizione che c'era vita su Marte un miliardo di anni fa, dal momento che questo è incerto; un frequentista non assegnerebbe una probabilità a tale proposizione, poiché non si tratta di un evento casuale che abbia una frequenza relativa a lungo termine.
[modifica] Voci correlate
- valore atteso
- funzione somiglianza
- probabilità
- evento
- assiomi della probabilità
- variabile casuale, distribuzione di probabilità
- indipendenza statistica
- teoria fuzzy della misura
[modifica] Bibliografia
- Billingsley Patrick, Probability and measure, 3rd ed., John Wiley & Sons, New York 1995, ISBN 0-471-00710-2.
- Jeffreys Harold (1939) The Theory of Probability
- Kolmogorov Andrey N. (1933) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung.
- Laplace, Pierre S. (1812) Theorie Analytique des Probabilités.
- Nelson Edward (1987) Radically Elementary Probability Theory
