نظرية القياس

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

يعتبر القياس في الرياضيات دالة تقوم بربط عدد ما يدعى الحجم أو السعة أو الاحتمال بمجموعة جزئية من مجموعة كبرى. و هذا المفهوم للقياس الرياضي يعتبر أساسيا في التحليل الرياضي و نظرية الإحتمالات. تتطور هذا المفهوم من الحاجة لإجراء مكاملة على مجموعات اعتبارية غير معينة بدلا من إجراء التكامل بالطريقة التقليدية.

نظرية القياس تشكل أحد أجزاء التحليل الحقيقي الذي يبحث في جبر-σ ، القياسات ، دوال القياس و التكاملات . و تعتبر ذات اهمية خاصة في نظرية الاحتمالات و الإحصاء .

[تحرير] التعريف الرسمي

رسمياً, القياس μ هو عبارة عن دالة معرفة على جبر-σ يدعى (Σ) على المجموعة X بقيم ضمن المجال [0, ∞] بحيث يتم تحقيق الخواص التالية :

المجموعة الخالية لها قياس صفر:

$\mu(\varnothing) = 0;$

قابلية الإضافة العدودة أو قابلية الإضافة-سيغما: إذا كان E₁, E₂, E₃, ... عبارة عن متتالية عدودة من مجموعات متفارقة disjoint sets مثنى مثنى ضمن Σ, فيكون قياس اجتماع جميع E مساويا ل مجموع القياسات لجميع E:

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).$

The الثلاثية (X,Σ,μ) تدعى عندها فضاء القياس measure space ، و عناصر Σ تدعى مجموعات مقيسة أو قابلة للقياس measurable sets .

فروع الرياضيات التي تهتم بدراسة البنية
جبر تجريدي \| نظرية الأعداد \| الهندسة الجبرية \| نظرية الزمر \| المونويدات \| التحليل الرياضي \| الطوبولوجيا \| جبر خطي \| نظرية المخططات \| الجبر الشامل \| نظرية التصنيف \| نظرية الترتيب \| نظرية القياس