Misura di Lebesgue
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In matematica, la misura di Lebesgue è il modo consueto di assegnare un volume ai sottoinsiemi dello spazio euclideo. È usata dovunque nell'analisi matematica, in particolare nella definizione dell'integrazione secondo Lebesgue. Gli insiemi a cui è possibile assegnare un volume sono detti misurabili secondo Lebesgue; il volume o misura dell'insieme Lebesgue-misurabile A è indicato con λ(A). Se si assume l'assioma della scelta, non tutti gli insiemi Rn sono Lebesgue-misurabili, un classico esempio di insieme non misurabile è l'insieme di Vitali. Lo "strano" comportamento degli insiemi non misurabili dà origine a risultati come il paradosso di Banach-Tarski, una conseguenza anch'esso dell'assioma della scelta. La misura di Lebesgue è un tipico esempio di misura.
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[modifica] ProprietÃ
La misura di Lebesgue ha le seguenti proprietà :
- Se A è un prodotto cartesiano di intervalli della forma I1 ⋅ I2 ⋅ ... ⋅ In, allora A è Lebesgue-misurabile e λ(A) = |I1| ⋅ ... ⋅ |In|. Qui |I| indica la lunghezza dell'intervallo I.
- Se A è l'unione disgiunta di un numero finito o numerabile di insiemi disgiunti Lebesgue-misurabili, allora A è Lebesgue-misurabile e λ(A) è uguale alla somma (o alla serie) delle misure degli insiemi misurabili coinvolti.
- Se A è Lebesgue-misurabile, allora lo è anche il suo complemento.
- λ(A) ≥ 0 per ogni insieme Lebesgue-misurabile A.
- Se A e B sono Lebesgue-misurabile e A è un sottoinsieme di B, allora λ(A) ≤ λ(B). (Conseguenza di 2, 3 e 4.)
- Unioni e intersezioni numerabili di insiemi Lebesgue-misurabili sono Lebesgue-misurabili. (Conseguenza di 2 e 3.)
- Se A è un sottoinsieme aperto o chiuso di Rn (vedi spazio metrico), allora A è Lebesgue-misurabile.
- Se A è un insieme Lebesgue-misurabile con λ(A) = 0 (un insieme di misura nulla), allora ogni sottoinsieme di A è un insieme di misura nulla.
- Se A è Lebesgue-misurabile e x è un elemento di Rn, allora la traslazione di A mediante x, definita da A + x = {a + x : a ∈ A}, è Lebesgue-misurabile e ha la stessa misura di A.
Tutte le affermazioni summenzionate possono essere riassunte in breve:
- Gli insiemi misurabili secondo Lebesgue formano una σ-algebra contenente tutti i prodotti di intervalli, e λ è l'unica misura invariante per traslazioni e completa su questa sigma-algebra con λ([0, 1] ⋅ [0, 1] ⋅ ... ⋅ [0, 1]) = 1.
La misura secondo Lebesgue ha anche la proprietà di essere σ-finita.
[modifica] Insiemi di misura nulla
Un sottoinsieme di Rn è un insieme di misura nulla se, per ogni ε > 0, può essere coperto con un insieme numerabile di prodotti di n intervalli il cui volume è al massimo ε. Tutti gli insiemi numerabili sono insiemi di misura nulla, così pure gli insiemi in Rn la cui dimensione è più piccola di n, ad esempio rette o circonferenze in R2.
Per mostrare che un dato insieme A è misurabile secondo Lebesgue, in genere si cerca di trovare un insieme più "gradevole" B che differisce da A solo per un insieme di misura nulla (nel senso che la differenza simmetrica (A − B) ∪ (B − A) è un insieme di misura nulla) e quindi mostrare che B può essere generato usando unioni e intersezioni numerabili di insiemi aperti o chiusi.
[modifica] Costruzione della misura di Lebesgue
La costruzione moderna della misura di Lebesgue, basata sulle misure esterne, è dovuta a Carathéodory. Procede nel modo seguente:
Per ogni sottoinsieme B di Rn, possiamo definire
Ora, vol(M) è la somma dei prodotti delle lunghezze degli intervalli coinvolti. Si definisce quindi l'insieme A misurabile secondo Lebesgue se
per tutti gli insiemi B. Questi insiemi Lebesgue-misurabili formano una σ-algebra, e la misura di Lebesgue è definita da λ(A) = λ*(A) per ogni insieme Lebesgue-misurabile A.
Secondo il teorema di Vitali, se si ammette l'assioma della scelta, esiste un sottoinsieme dei numeri reali R che non è Lebesgue-misurabile. In caso contrario tutti i sottoinsiemi di R sono Lebesgue-misurabili.
[modifica] Rapporti con le altre misure
La misura di Borel è in accordo con la misura di Lebesgue sugli insiemi per cui è definita; tuttavia, esistono molti più insiemi Lebesgue-misurabili che insiemi Borel-misurabili. La misura di Borel è invariante per traslazioni, ma non completa.
La misura di Haar può essere definita su ogni gruppo localmente compatto ed è una generalizzazione della misura di Lebesgue (Rn con l'addizione è un gruppo localmente compatto).
La misura di Hausdorff (vedi dimensione di Hausdorff) è una generalizzazione della misura di Lebesgue utile per misurare gli insiemi di Rn di dimensione minore di n, come le sottovarietà , ad esempio superfici o curve in R3 e insiemi frattali.
[modifica] Storia
Henri Lebesgue ha descritto la sua misura nel 1901, seguita l'anno seguente dalla descrizione dell'integrale di Lebesgue. Entrambi furono pubblicati come parte della sua dissertazione nel 1902.