Normale (superficie)

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In matematica, una normale a una superficie piana è un vettore tridimensionale perpendicolare a quella superficie. Una normale ad una superficie non piana nel punto p su quella superficie è un vettore perpendicolare al piano tangente a quella superficie in p. La parola normale è adoperata anche come aggettivo e come nome con questo significato: una retta normale ad un piano, la componente normale di una forza, il vettore normale, ecc.

Un poligono e uno dei suoi due vettori normali.

[modifica] Calcolare la normale ad una superficie

Per un poligono (come un triangolo), la normale alla superficie può essere calcolata come il vettore prodotto vettoriale di due vertici del poligono.

Per un piano ricavato da un'equazione del tipo $a x + b y + c z = d$ , il vettore $(a, b, c)$ è una normale.

Se una superficie S (possibilmente non-piana) è parametrizzata da un sistema di coordinate curvilinee x(s, t), con s e t numeri reali, allora una normale è data dal prodotto vettoriale delle derivate parziali

${\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}.$

Se una superficie S è data implicitamente, come la serie di punti $(x, y, z)$ che soddisfano $F (x, y, z) = 0$ , allora, la normale nel punto $(x, y, z)$ alla superficie è data dalla gradiente

$\nabla F(x, y, z).$

Se una superficie non ha un piano tangente in un punto, allora non avrà neanche una normale in quel punto. Per esempio, un cono non ha una normale alla sua estremità e nemmeno ha una normale lungo i bordi della sua base. comunque, la normale al cono è definita quasi ovunque. In generale, è possibile definire una normale quasi ovunque per una superficie che soddisfi la condizione di Lipschitz.

[modifica] Unicità di una normale

La normale ad una superficie non ha un'unica direzione; il vettore che punta nel verso opposto della normale alla superficie è anch'esso una normale a quella superficie. Per una superficie orientata, la normale alla superficie è solitamente determinata dalla regola della mano destra.