Paradossi di Zenone

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Indice

1 Paradossi contro il pluralismo
- 1.1 Primo paradosso
- 1.2 Secondo paradosso
2 Paradossi contro il movimento
3 Voci correlate

I paradossi di Zenone ci sono stati tramandati attraverso la citazione che ne fa Aristotele nella sua Fisica. Zenone di Elea, discepolo ed amico di Parmenide, per sostenere l'idea del maestro, che la realtà è costituita da un Essere unico e immutabile, propose alcuni paradossi che dimostrano, a rigor di logica, l'impossibilità della molteplicità e del moto, nonostante le apparenze della vita quotidiana.

Oggi non si dà alcun valore alle argomentazioni di Zenone, in quanto dopo la scoperta, in matematica, degli infinitesimi e del modo di elaborarli, diventa molto facile vedere dove risiede l'errore. Nei ragionamenti attribuiti a Zenone viene dato per scontato il (pre)concetto che una somma di infiniti termini debba per forza essere di valore infinito. Al contrario, oggi siamo in grado di concepire la suddivisione di una grandezza in infinite parti di valore infinitesimo, ma non nullo. Analogamente possiamo concepire che la somma di un numero infinito di parti (infinitesime) può dare un risultato finito.

I paradossi di Zenone restano comunque un utile esercizio di logica, per riflettere sulla modalità di costruzione dei ragionamenti umani. Si ricordano due paradossi contro il pluralismo e quattro contro il movimento.

[modifica] Paradossi contro il pluralismo

[modifica] Primo paradosso

Il primo paradosso, contro la pluralità delle cose, sostiene che se le cose sono molte esse sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via.

[modifica] Secondo paradosso

Il secondo paradosso invece sostiene che se queste unità non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite unità avranno una grandezza infinita.

[modifica] Paradossi contro il movimento

[modifica] Primo paradosso (lo stadio)

Il primo argomento contro il movimento è quello sullo stadio.

Esso afferma che non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via senza quindi mai riuscire a raggiungere l'estremità dello stadio.

[modifica] Secondo paradosso (Achille e la tartaruga)

Il paradosso di Achille e la tartaruga - uno dei paradossi di Zenone più famosi - afferma invece che se Achille (detto "piè veloce") venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la Tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga non arriverà mai ad essere pari a zero.

In pratica, posto che la velocità di Achille ( $V a$ ) sia N volte quella della tartaruga ( $V t$ ) le cose avvengono così:

dopo un certo tempo $t 1$ Achille arriva dove era la tartaruga alla partenza ( $L 1$ ).
nel frattempo la tartaruga ha compiuto un pezzo di strada e si trova nel punto $L 2$ .
occorre un ulteriore tempo $t 2$ per giungere in $L 2$ .
ma nel frattempo la tartaruga è giunta nel punto $L 3$ ... e così via.

Quindi per raggiungere la tartaruga Achille impiega un tempo

$T = t_1 + t_2 + t_3 + ... + t_n+... \,\!$

e quindi non la raggiungerà mai!

[modifica] Terzo paradosso (la freccia)

Il terzo argomento è quello della freccia, che appare in movimento ma, in realtà, è immobile. In ogni istante di fatti essa occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatta di singoli istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi.

Il concetto di questo terzo paradosso è in fondo opposto a quello del secondo: l'esistenza di punti e istanti indivisibili. Ma anche in questo caso il movimento risulta impossibile, in quanto dalla somma di istanti immobili non può risultare un movimento.

[modifica] Quarto paradosso (due masse nello stadio)

Zenone afferma che se due masse in uno stadio si vengono incontro, risulterà l'assurdo logico che la metà del tempo equivale al doppio.

Consideriamo infatti tre segmenti (A, B, C) uguali e paralleli, che si trovino allineati. Supponiamo poi che il segmento in alto (A) si muova verso destra, rispetto a quello al centro (B) che resta fermo, e che per ogni istante elementare avanzi di un intervallo (elementare). Il segmento in basso (C) faccia invece la stessa cosa verso sinistra. Dopo il primo istante avremo che i punti iniziali di A e C si saranno allontanati di due intervalli. Ma ciò è assurdo perché allora il tempo che avrebbero impiegato per allontanarsi di un solo intervallo sarebbe di "mezzo istante", contraddicendo l'ipotesi che stiamo analizzando la situazione al primo istante (indivisibile).

[modifica] Confutazione dei paradossi del moto

In alcuni dei suoi paradossi, Zenone assume implicitamente che, data una serie infinita, debba essere infinita anche la sua somma.

Nel caso specifico di Achille e della tartaruga la serie dei tempi $t i$ converge e

$\ T= L_1/(V_a-V_t)$

Non crediamo però che l'errore sia "sciocco": una prima dimostrazione di convergenza delle serie infinite non geometriche è stata data, nel solo caso particolare di

$\ \sum_1^{\infty}\frac n {2^n}$

solo nel XVI secolo da Richard Suiseth.

Il caso generale venne dimostrato nel XVII secolo, mentre Zenone espose i suoi paradossi nel V secolo AC. La tecnica mostrata da Zenone nella suddivisione infinitesimale va sotto il nome di dicotomia.

Il paradosso della freccia, come quello dello stadio, possono essere confutati sviluppando una teoria dei numeri reali che permetta di postulare che lo spazio e il tempo siano infinitamente divisibili, e definendo al contempo la possibilità di misurare un insieme di cardinalità illimitata, concetti che sono stati resi formalmente solo alla fine del XIX secolo.

Nel paradosso delle masse dello stadio, Zenone implicitamente suppone che le velocità possibili di un corpo siano illimitate superiormente, mentre sappiamo dalla teoria della relatività ristretta che non è così. Anche in quello della freccia, egli suppone che un corpo in moto sia indistinguibile da uno in quiete. Ed in questo caso, tra l'esposizione del paradosso e la sua soluzione intercorrono ben 2500 anni!

Come si può vedere, questi paradossi sono stati utili per sviluppare molti concetti alla base della matematica e della fisica moderne, e non si dovrebbe liquidarli banalmente.