Теорија на веројатност

Од Википедија, слободна енциклопедија

Теорија на веројатност е математичко изучување на веројатноста.

Математичарите мислат на веројатностите како на броеви во затворен интервал од 0 до 1 припишани на „настан“ чие случување или неслучување е случајно. Веројатностите $P (A)$ им се препишуваат на настани $A$ според аксиомите на веројатноста.

Веројатноста дека тој настан $A$ ќе се случи под услов на познатото случување на настанот $B$ е условна веројатност на $A$ под услов $B$ ; неговата нумеричка вредност е $P(A \cap B)/P(B)$ (сè додека $P (B)$ не е нула). Ако условната веројатност на $A$ под сулов $B$ и иста што и („безусловната“) веројатност на $A$ , тогаш $A$ и $B$ се нарекуваат независни настани. Дека оваа релација помеѓу $A$ и $B$ е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ каде A и B се независни настани.

Два круцијални концепта кај теоријата на веројатноста се случајната променлива и дистрибуцијата на веројатноста на случајна променлива; видете ги тие статии за повеќе информации.

[уреди] Нешто поапстрактен поглед на веројатноста

Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од Колмогоров во 1930-тите. Простор на веројатност е троен $(\Omega, \mathcal F, P)$ , каде

$Ω$ не е празно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден случаен експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.

$\mathcal F$ е σ-алгебра на подмножества на $Ω$ - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека $\mathcal F$ е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи $Ω$ , дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или избројливо конечна) низа на настани е настан.

$P$ е мера на веројатност мна $\mathcal F$ , т.е., мера кај која $P (Ω) = 1$ .

Треба да се спомене дека $P$ е функција дефинирана на $\mathcal F$ , а не на $Ω$ , и често не сочинуваат ни булеан $\mathcal F=\mathbb P (\Omega)$ . Не секое множество исходи претставува настан.

Ако $Ω$ е изброиво множество, тогаш речиси секогаш го дефинираме $\mathcal F$ како булеан на $Ω$ , т.е. $\mathcal F=\mathbb P (\Omega)$ кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со $Ω$ . Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме $\mathcal{F}$ и да напишеме само $(Ω, P)$ за да го дефинираме. Во друг случај, ако $Ω$ е неизброиво множество и користиме $\mathcal F=\mathbb P (\Omega)$ , тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста $P$ заради тоа што $\mathcal{F}$ е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како Банах-Тарсковиот парадокс. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра $\mathcal F$ (на пр. Борелова алггебра на $Ω$ , која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).

Случајна променлива $X$ е измерлива функција на $Ω$ . На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.

Ако $X$ е било која случајна променлива, нотацијата $P(X \ge 60)$ , е стенографија за $P(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \ge 60 \})$ , под претпоставка дека „ $X \ge 60$ “ е „настан“.

За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете алгебра на случајни променливи.

[уреди] Бибилографија

Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability
Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Foundations of the Theory of Probability
Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability
Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
Henk Tijms (2004) Understanding Probability