ディリクレの関数

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ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。

$f(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \mathbb{Q})\\ 0 & (x \in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}) \end{cases}$

ただし、Q は有理数全体の成す集合である。式からわかるように、この関数はいたるところで不連続である。さらに、

$\sup \int^{a}_{b} f(x) dx = a-b$

$\inf \int^{a}_{b} f(x) dx = 0$

が成り立つから、（sup∫ を上積分、inf∫ を下積分という）ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることがわかる。（ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である Q はルベーグ測度に関して零集合であることによる）

[編集] 連続関数の極限としての表示

ディリクレの関数は、ディリクレ本人によって、

$f(x) = \lim_{n \to \infin}\lim_{k \to \infin} \cos^{2k}(n! \,\pi x)$

と表わせることが示されている（したがってディリクレ関数は 2 階のベール関数の一例である）。その方法は次による。

任意の有理数 q を考える。n! q は、十分大きな n に対して恒等的に整数である。それに比べ、無理数 r は、いくら n を大きく取っても n! r が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。

$f(x) = \begin{cases} 1 & (n!\,x \in \mathbb{Z})\\ 0 & (n!\,x \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Z}) \end{cases} (n \to \infin)$

ただし、Z は整数全体の成す集合。さてここで、関数

$F(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \mathbb{Z})\\ 0 & (x \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Z}) \end{cases}$

を表示できれば、f(x) = lim[n→∞] F(n!x) となって決着がつく。（F は単独で考えても興味深い関数である。） F は、不連続でありながらも周期的である。一定の周期を持つ関数として三角関数を考える。cos²(πx) は、x が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回冪乗することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても恒等的に 1 となって変化しない。これより、