フリードマン数

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フリードマン数（-すう、Friedman number）とは、自然数のうち、その数に使われている数字を全て用いて i)四則演算　ii)累乗　iii)複数個の数字を合わせて2桁以上の数にする　という3つの方法のうち少なくとも一つを用いて数式を作ることで元の数に一致させられる数のことをいう。ただしiii)の方法だけでフリードマン数を作ることはできないものとする。例として、25(5²)、153(51×3), 289((8+9)²)。

[編集] 最初の20個のフリードマン数

25=5², 121=11², 125=5¹⁺², 126=21×6, 127=2⁷-1, 128=2^8-1, 153=51×3, 216=6¹⁺², 289=(8+9)², 343=(3+4)³, 347=7³+4, 625=5^6-2, 688=86×8, 736=3⁶+7, 1022=2¹⁰-2, 1024=(4-2)¹⁰, 1206=201×6, 1255=251×5, 1260=21×60, 1285=(1+2⁸)×5, …

[編集] 数学的性質

2つ以上の数の組で成り立つものもある。例えば、(128, 168)の組は21×8=168,　16×8=128という関係が成り立つ。

0を含まないパンデジタル数のうちフリードマン数であるものは2つ知られており、

123456789 = ((86 + 2 * 7)⁵ - 91) / 3⁴ , 987654321 = (8 * (97 + 6/2)⁵ + 1) / 3⁴

25×10²ⁿ で表わされる数は 500...0² と表わせ、そこから連続するフリードマン数を得ることができる。例えば250068は 500²+68 と表わせるフリードマン数であり、同様に250000から250099までの全ての整数はフリードマン数である。

5の累乗数は全てフリードマン数である。またn進法での121は n²+2n+1 であり、これは (n+1)² に等しいので全てのnに関して 121_n = 11²_n が成り立つ。したがって何進法でも（どんな位取り記数法でも）121はフリードマン数である。

[編集] ナイスフリードマン数

ナイスフリードマン数(nice Friedman number)は各桁の数字の順番通りに計算することで元の数に一致させられるようなフリードマン数である。そのような数のうち最小のものは127であり、 -1+2⁷ という形で表わすことでナイスフリードマン数の条件を満たす。127から小さい順にナイスフリードマン数を列記すると

127=-1+2⁷, 343=(3+4)³, 736=7+3⁶, 1285=(1+2⁸)×5, 2187=(2+1⁸)⁷, 2502=2+50², 2592=2⁵×9², 2737=(2×7)³-7, 3125=(3+1×2)⁵, 3685=(3⁶+8)×5, 3864=3×(-8+6⁴), 3972=3+(9×7)², 4096=(4+0×9)⁶, 6455=(6⁴-5)×5, 11264=11×2⁶⁺⁴, …

ぞろ目の数のうち最小のナイスフリードマン数は 99999999 = (9+9/9)^9-9/9 -9/9 と表わされる。Brandon Owensは24桁以上のぞろ目数は何進法でもナイスフリードマン数になることを証明した。