ヴェブレン階層

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ヴェブレン階層とは、ヴェブレン関数の値からなる超限次元の行列で、フェファーマン・シュッテの順序数(Γ₀)より小さい順序数を表現する一般的な方法として有名。任意の Γ₀ より小さい順序数は、0と和とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。

[編集] ヴェブレン階層とヴェブレン関数

ヴェブレン関数 $\varphi$ は、可算な順序数の上に定義される二変数関数で、最小の非可算な順序数を Ω で表すとき、ヴェブレン関数の値からなる Ω×Ω の超限次元の行列を特にヴェブレン階層と呼ぶ。ヴェブレン階層の α 行目、β 列目の値を $\varphi_\alpha(\beta)$ と書く。ここでは、概略的な説明にとどめる。

まず、ヴェブレン階層の0行目に additive principal な順序数を小さいものから順番に置く。（すなわち、 $\varphi_0(\alpha)=\omega^\alpha$ ）次に、1行目には、 $\varphi_0(\alpha)=\alpha$ をみたすような α を小さいものから順番に置く。これらの順序数 $\varphi_1(\alpha)$ を、特に ε_&\alpha; と書く。例えば、 ε₀ は、 $\omega^\epsilon_0$ となる最小の順序数で、直感的には $\omega^{\omega^{\omega^{\dots}}}$ の値である。ただし、 $\epsilon_0^\omega=\epsilon_0$ ではないことに注意せねばならない。従来の羃の表記よりは、右上から左下にかけて小さく書かれている方が、意味的には正しい。ε₁ は、ε₀ より大きく $\omega^{\epsilon_1}$ であるような最小の数で、 $\epsilon_0+1,\omega^{\epsilon_0+1},\omega^{\omega^{\epsilon_0+1}}$ の極限として与えられる。一般に、後続順序数 α+1 に対して、ヴェブレン階層の α 列目は $\varphi_\alpha(\beta)=\beta$ となるような β が順番に置かれ、極限順序数 λ に対しては、それより上のすべての行に現れる順序数が順番に置かれる。