三角錐数

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n=5 のときの三角錐数である35個の球。最初の5つの三角数に等しい個数の球を順番に段重ねしたものである。

三角錐数（さんかくすいすう、tetrahedral number）は点を右図のように三角錐の形にならべたとき、そこに含まれる点の総数にあたる自然数で四面体数（しめんたいすう）ともいう。三角錐数は無数にあり、最小のものは1である。三角数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：10(=1+3+6)、35(=1+3+6+10+15)

n番目の三角錐数 T_n は1からn番目の三角数 n(n+1)/2 までの和に等しいので

$\begin{align} T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} & = \frac{1}{2} \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right)\\ & = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\\ \end{align}$

また組み合わせの記号を用いると $T n = n + 2 C 3$ となる。

三角錐数を小さい順に列記すると

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

三角錐数のうち平方数でもある数は 1,4と19600(=140²) の3つのみである。また三角錐数でなおかつ四角錐数でもある数は1のみである。

三角錐数は奇数-偶数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。

パスカルの三角形

パスカルの三角形における数列は左にある列から順に

モナド（単数）の数列　1,1,1,1,1,1,1,1,1,…,1,…

自然数の数列　1,2,3,4,5,6,7,8,9,…, $n C 1$ ,…

三角数の数列　1,3,6,10,15,21,28,36,45,…, $n + 1 C 2$ ,…

三角錐数の数列　1,4,10,20,35,56,84,120,165,…, $n + 2 C 3$ ,…

となっている。上にある数列はその一つ下の数列の階差数列である。

三角錐数の逆数の総和は

$\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)}{6}} & = 6 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} +\frac{1}{k+2}\right)\\ & = 3 \bigg\{\left(\frac{1}{1} - \frac{2}{2} + \frac{\not1}{\not3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\not2}{\not3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{\not1}{\not3} - \frac{2}{4} + \frac{1}{5}\right) + \cdots \bigg\}\\ & = \frac{3}{2}\end{align}$