二重平方数

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二重平方数（にじゅうへいほうすう）とは、狭義には別の自然数の四乗（平方の平方）になっているような自然数のことである。最小の二重平方数は 1⁴ = 1 であり、二重平方数は無数にある。小さい数から順に列記すると

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, …

[編集] 二重平方数の性質

二重平方数 n⁴ は (n²)² と変形されるためすべて平方数である。

約数を5つだけ持つ自然数は素数を4乗した二重平方数のみ。

例: 2⁴ の約数は 1(=2⁰), 2(=2¹), 4(=2²), 8(=2³), 16(=2⁴) の5つである。

一般に p⁴ は 1, p, p², p³, p⁴ の５つの約数を持つ（pは素数）。

二重平方数の逆数の総和は である。（→ゼータ関数）

また1万、1億、1兆などの数は 10⁴ⁿ = (10ⁿ)⁴ と表わされるので全て二重平方数である。

二重平方数の下2桁は 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96 の12通りのうちいずれかである。

全ての自然数は高々19個の二重平方数の和で表わすことができる。また十分大きな自然数は高々16個の二重平方数の和として表わすことができる。（→ウェアリングの問題）

[編集] 関連事項

• 平方数
• 立方数