五角数
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五角数（ごかくすう、pentagonal number）とは多角数で、正五角形の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは1が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5(=1+4)、12(=1+4+7)、92(=1+4+7+10+13+16+19+22)
| 1 | 5 | 12 | 22 | |||
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n番目の五角数を Pn とすると上図より
- p1 = 1 , pn+1 = pn + 3n + 1
が導かれる。よって五角数の式は
これはn=1のときも成り立つ。五角数を小さいものから順に列記すると 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001,… となる。
五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また1と5以外の五角数は全て合成数である。
五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。
全ての自然数は高々5つの五角数の和で表わすことができる。（→多角数定理）
[編集] 関連項目
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