브라베이 격자

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브라베이 격자란 기하학과 결정학에서 주기성과 규칙성과 반복성을 가지고 3차원 공간을 채우는 격자점들의 모양을 나타내며 프랑스의 오귀스트 브라베의 이름을 따 명명되었다. 각 격자점은 모두 같은 주위환경을 갖고 있어 어느 격자점을 중심으로 보든 똑같은 모양이 나타난다-그리고 이것이 격자점의 정의이다-. 3차원에서 가능한 브라베이 격자는 모두 14가지가 있다. 각 격자점에 하나 이상의 원자가 대응되어 주기성과 규칙성과 반복성을 가질 때 그것을 결정이라고 한다.

[편집] 14 브라베이 격자

14 브라베이 격자는 7 결정계와 lattice centering의 조합으로 이루어진다.

lattice centering에는 다음과 같은 종류가 있다.

단순(또는 원시) 격자 (Primitive centering, P): 격자점은 각 단위격자의 꼭지점에만 위치한다.
체심 (Body centered, I): 단위격자의 중심에 하나의 격자점이 더 있다.
면심 (Face centered, F): 단위격자를 이루는 각 면의 중심에 격자점이 하나씩 더 있다.
저심 (A, B or C centering): 마주보는 2개의 면의 중심에만 격자점이 하나씩 더 있다. A축에 수직한 면의 중심에 격자점이 있는경우 A centering이라 하고, B축에 수직한 면에 있는 경우 B centering이라고 한다.

lattice centering에는 위와같이 모두 6개의 종류가 있으므로 7 결정계와 조합하면 모두 42개의 브라베이 격자가 된다. 그러나 어떤 격자들은 서로 똑같은 모양을 나타내므로 42개보다 적은 수의 브라베이 격자로 가능한 모든 격자를 표현할 수 있다. 예를들어 단사정계의 체심 격자는 역시 단사정계의 저심 격자로 나타낼 수 있다. 비슷하게 A, B centering은 모두 C centering이나 체심(Body centered)으로 나타낼 수 있으므로 브라베이 격자에 A, B centered 격자는 존재하지 않는다. 같은 모양을 갖는 격자를 제외한 브라베이 격자는 모두 14가지이다.

Crystal system	브라베이 격자
삼사정계	P
삼사정계
단사정계	P	C
단사정계
사방정계	P	C	I	F
사방정계
정방정계	P	I
정방정계
삼방정계	P
삼방정계
육방정계	P
육방정계
입방정계	P	I	F
입방정계

단위격자의 부피는 격자벡터 $\underline a, \underline b$ , and $\underline c$ 로 표현이 가능하다. 각 브라베이 격자의 단위격자 부피는 다음과 같다.

결정계	부피
삼사정계	$abc \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}$
단사정계	$a b c sinβ$
사방정계	$a b c$
정방정계	$a 2 c$
삼방정계	$a^3 \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}$
육방정계	$\frac{\sqrt{3\,}\, a^2c}{2}$
입방정계	$a 3$