Centrale limietstelling

Van Wikipedia

De centrale limietstelling is een stelling uit de kansrekening. De stelling geeft aan dat de som van een groot aantal onafhankelijke en gelijk verdeelde stochastische variabelen bij benadering een normale verdeling heeft. De variabelen zelf behoeven daarvoor geen normale verdeling te hebben.

Als de som van een aantal variabelen normaal verdeeld is, is uiteraard ook ook hun gemiddelde normaal verdeeld.

In het algemeen wordt de centrale limietstelling gebruikt ter rechtvaardiging van het gebruik van de normale verdeling. Dit is terecht voor gemiddelden van voldoende grote aantallen.

[bewerk] Wiskundige afleiding van de centrale limietstelling

De stelling die meestal de centrale limietstelling wordt genoemd luidt als volgt. Stel dat X₁, X₂, X₃, ... een rij onafhankelijke stochasten is met dezelfde kansverdeling D, gedefinieerd op hetzelfde domein. Neem aan dat de verwachte waarde μ en de standaarddeviatie σ van D bestaan en eindig zijn.

Beschouw dan de som S_n = X₁ + ... + X_n. De verwachte waarde van S_n is nμ en de standaardfout is σ n^1/2. Verder nadert, simpel gezegd, de verdeling van S_n naar de normale verdeling N(nμ,σ²n) als n naar ∞ gaat.

Om het woord "nadert" in de vorige zin te preciseren, standaardiseren we S_n als volgt:

Dan convergeert de verdeling van Z_n naar de standaard normale verdeling N(0,1) als n naar ∞ gaat (hier is dus sprake van convergentie van een kansverdeling). Dit betekent: als Φ(z) de cumulatieve verdelingsfunctie is van N(0,1), dan geldt voor elk reëel getal z:

Of, wat daar gelijkwaardig mee is:

waarbij

het steekproefgemiddelde is.

Zie ook

kansrekening | statistiek | toeval | verwachtingswaarde | kansverdeling | kansfunctie | kansdichtheid | voorwaardelijke kans | stochasticiteit