Lie-algebra
Van Wikipedia
Een Lie-algebra is een wiskundige structuur uit de lineaire algebra die bepaalde eigenschappen modelleert van de ruimte der raakvectoren aan een Lie-groep.
[bewerk] Definitie
Een Lie-algebra is een (niet noodzakelijk associatieve) algebra over een lichaam (in België: veld) K waarvan de productbewerking . bovendien voldoet aan de volgende twee eigenschappen:
- Alternerend:
- Identiteit van Jacobi:
De haakjes in de Jacobi-identiteit zijn noodzakelijk omdat een Lie-algebra niet noodzakelijk associatief is.
Als de karakteristiek van K verschillend is van 2, dan is de alternerende eigenschap gelijkwaardig met
- Anticommutatief:
[bewerk] Voorbeelden
Het bijzondere geval waarbij x.y steeds 0 is, voldoet op triviale wijze aan de axioma's en heet de commutatieve of abelse Lie-algebra.
Het vectorproduct maakt van de driedimensionale coördinatenruimte K3 over een willekeurig lichaam K, een Lie-algebra.
Als (K,V, + , * ) een associatieve algebra is, dan kunnen we van dezelfde K-vectorruimte V een Lie-algebra maken met als productbewerking de commutator
![(x,y)\mapsto[x,y]=x*y-y*x](../../../math/b/5/6/b5654a2f5e6917973a98d4f8c5f93cb2.png)
Als M een gladde variëteit is, en TM zijn rakende bundel, dan vormen de secties van TM een reële vectorruimte. De Liehaak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een Lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de Lie-algebra van een Lie-groep.
[bewerk] Representatiestelling
Elke Lie-algebra is isomorf met een deelalgebra van de lineaire transformaties van een vectorruimte, uitgerust met de commutatorhaak [.,.]
