リー環

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リー環（りーかん、Lie ring）はリー括弧積（リー・ブラケット）と呼ばれる非結合的な積をもつ代数的構造で、和と括弧積に関して積の結合性を除く（単位的）環の公理を全て満たす（非結合的分配環）。また応用上重要なリー環は単に環であるというだけでなく分配多元環の構造を持ち、リー多元環あるいはリー代数（りーだいすう、Lie algebra) と呼ばれる。リー多元環を簡単にリー環と呼ぶことも多い。体上のリー多元環は括弧積をもつベクトル空間であると述べることもできる。

有限次元リー環は指数写像と呼ばれる一対一対応により、ある有限次元リー群の原点（零元）における接空間として実現される。

[編集] 定義

リー（多元）環は次の条件により定義される体あるいは単位的可換環 K 上の代数的構造 A のことである： A には 3 つの演算和 +, 括弧積 [·, ·], F の元のスカラー積 · が定義されて以下を満たす。

和についてアーベル群を成す：
- 和の交換法則： x + y = y + x が、任意の x, y ∈ A に対して成り立つ。
- 和の結合法則： x + (y + z) = (x + y) + z が、任意の x, y, z ∈ A に対して成り立つ。
- 零元の存在： x + 0 = x が任意の x ∈ A に対して成り立つような 0 が A に存在する。
- 逆元の存在：任意の x ∈ A に対し、x + (-x) = 0 を満たすような A の元 -x が存在する。
分配法則：任意の x, y, z ∈ A に対して
- [x + y, z] = [x, z] + [y, z],
- [x, y + z] = [x, y] + [x, z].
和とスカラー積に関して以下を満たす：任意の α, β ∈ K, x, y ∈ A および F の単位元 1_F に対して
- 右分配法則： α(x + y) = αx + αy,
- 左分配法則: (α + β)x = αx + βx,
- スカラー積の結合性： (αβ)x = α(βx),
- 恒等作用： 1_K x.
α[a, b] = [αa, b] = [a, αb] が任意の α ∈ K と a, b ∈ A に対して成り立つ。
括弧積の交代性： [x, x] = 0 が任意の x ∈ A に対して成り立つ。
ヤコビの等式： [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 が、任意の x, y, z ∈ A に対して成り立つ。

狭い意味でのリー環はスカラー乗法に関わる 3, 4 の条件以外を満たすものである。条件 1, 2 はリー環が K 上の分配的環となることを意味し、ヤコビの等式はそれが非結合的であることを示している。条件 1, 3 はリー環がベクトル空間あるいは環上の加群の構造を持つことを意味し、さらに 2, 4 を加えて（単位元を持つ）分配多元環であることを知る。すなわちリー環とは、交代的かつ必ずしも結合的でない積を持つ分配的多元環で、ヤコビの等式を満たすものである。

条件 2 と 4 をあわせて、括弧積は双線型性を持つという。また、条件 5 の交代性は標数が 2 でない体上でのリー環であれば以下の条件

[y, x] = - [x, y]

あるいは

[x, y] + [y, x] = 0

と同値である。この条件も交代性と呼ばれるほか、反対称性あるいは歪対称性 (skew-symmetricity) とも称される。この条件は標数 2 であるときも含めて条件 5 から導かれる。

[編集] 諸概念

結合的な積を持つ多元環 U で新たに括弧積を

[X, Y]: = X Y - Y X

によって定めるとリー環を得る。これを U に付随するリー環と呼び、対してもとの結合多元環を包絡環と呼ぶ。リー環 A がはじめに与えられたとき、その包絡環はテンソル代数を用いて普遍的に構成される。リー環 A の加群構造に注目して、A 上のテンソル代数 T(A) を構成し、これを

$[X,Y] - X\otimes Y + Y \otimes X \quad(X,Y \in A)$

なる形の元全体で生成されるイデアルで割った剰余多元環を U(A) と定めると、A は多元環 U(A) に加群構造を含めて埋め込めて、U(A) は積について

$[X,Y] = X\otimes Y - Y \otimes X$

なる関係を満たす結合的多元環となる。これをリー環 A の普遍包絡環（ふへんほうらくかん、universal enveloping algebra）と呼ぶ。

リー環 A の二元 x, y が [x, y] = 0 を満たすとき、x と y は可換であるという。任意の二元が可換であるようなリー環を可換リー環あるいは自明なリー環という。どんなベクトル空間 V に対しても、どの二元 v, w の積も [v, w] = 0 となるものとして積を入れると可換リー環を得る。