Momentgenererende functie

Van Wikipedia

In de kansrekening en de statistiek, is de momentgenererende functie van een toevalsgrootheid X de functie die voor reële t gegeven wordt door:

$M_X(t)={\mathrm E}\left(e^{tX}\right),$

mits deze verwachtingswaarde bestaat. De momentgenererende functie kan dan berekend worden als de Riemann-Stieltjes integraal:

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF_X(x)$

waar F_X de verdelingsfunctie van X is.

De momentgenererende functie genereert de momenten van de kansverdeling als volgt: wanneer de momentgenererende functie bestaat in een interval rond t = 0, is:

${\mathrm E}\left(X^n\right)= M_X^{(n)}(0).$

Als X een continue kansdichtheid f(x) heeft, wordt de momentgenererende functie gegeven door:

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x$

$= \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ xt + \frac{x^2}{2!}t^2 + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x$

$= 1 + \mu_1t + \frac{\mu_2}{2!}t^2 +\cdots,$

waar $μ i$ het i'de moment is.

Inhoud

1 Voorbeelden
- 1.1 Normale verdeling
- 1.2 Exponentiële verdeling
2 Verband met Laplacetransformatie

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Normale verdeling

Voor de normale verdeling met parameters μ en σ is de momentgenererende functie:

$M_X(t)=\frac 1{ \sigma\sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^\infty e^{tx} e^{-\frac 12 (\frac{x-\mu}{\sigma})^2} \mathrm{d}x = e^{\mu t+\frac 12\sigma t^2}.$

[bewerk] Exponentiële verdeling

Voor de exponentiële verdeling met parameter λ is de momentgenererende functie:

$M_X(t)= \lambda \int_0^\infty e^{tx} e^{-\lambda x} \mathrm{d}x = \frac{\lambda}{\lambda-t}$

Voor een rij onderling onafhankelijke (en niet noodzakelijk identiek verdeelde) toevalsgrootheden X₁, X₂, ..., X_n, wordt de momentgenererende functie van de gewogen som

$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,$

waar de a _i constanten zijn, gegeven door

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\ldots M_{X_n}(a_nt).$

Verwant met de momentgenererende functie zijn aantal andere integraaltransformaties die voorkomen in de kansrekening, zoals de karakteristieke functie en de kansgenererende functie.

De cumulantgenererende functie is de logaritme van de momentgenererende functie.