Laplacetransformatie

Van Wikipedia

De laplacetransformatie, genoemd naar Pierre-Simon Laplace, is een wiskundige techniek die wordt gebruikt voor het oplossen van integraal- en differentiaalvergelijkingen. In de elektrotechniek en regeltechniek is de laplacetransformatie een essentieel onderdeel bij berekeningen aan trillingskringen. De laplacetransformatie is een belangrijk voorbeeld van een integraaltransformatie.

Inhoud

1 Definitie
- 1.1 Notatie
- 1.2 Opmerkingen
2 Convergentie
- 2.1 Voldoende voorwaarden voor convergentie
3 Inverse
- 3.1 Voorbeeld
4 Eigenschappen
5 Verband met andere transformaties
- 5.1 met fouriertransformatie
- 5.2 Met Z-transformatie
6 Laplacegetransformeerden van enkele functies
- 6.1 Laplacegetransformeerden van speciale functies
7 Verband met differentiaalvergelijkingen
8 Zie ook
9 Externe link

[bewerk] Definitie

Stel f(t) is een functie van t, gedefinieerd voor t ≥ 0. Onder de laplacegetransformeerde van f verstaan we de functie F, gedefinieerd voor complexe s door:

$F(s) =\left(\mathcal{L}f\right)(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t$ .

Omdat f in veel toepassingen een functie van de tijd is, wordt f wel de tijdfunctie genoemd. De laplacegetransformeerde F heet wel de beeldfunctie.

[bewerk] Notatie

Voor de eenvoud van notatie schrijven we hier en in het vervolg soms:

$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) \mbox{ i.p.v. }(\mathcal{L}f)(s)$

om duidelijk te kunnen aangeven welke functie f bedoeld is.

[bewerk] Opmerkingen

De integratie wordt soms ook gerekend vanaf $-\infty$ i.p.v. 0. Er wordt dan stilzwijgend aangenomen dat f(t) = 0 voor t < 0. (f is causaal)

[bewerk] Convergentie

De laplacegetransformeerde is niet overal convergent (en dus gedefinieerd): de Laplacegetransformeerde van f(t) bestaat voor een bepaalde waarde van het complexe getal s als bovenstaande integraal convergeert voor deze waarde. Als de integraal convergeert voor een reëel getal σ, convergeert hij voor alle complexe getallen s met Re s > σ. Het kleinste reële getal σ zodat de integraal convergeert voor alle s met Re s > σ (indien dit bestaat) heet de convergentieabscis.

[bewerk] Voldoende voorwaarden voor convergentie

f(t) is stuksgewijs continu op elk interval t₁ < t < t₂, met t₁ > 0
f(t) is van exponentiële orde voor alle t > t_n

[bewerk] Inverse

De inverse laplacetransformatie kan via complexe integratie gevonden worden.

Vaak echter wordt de laplacegetransformeerde geschreven als een lineaire combinatie van laplacegetransformeerden van bekende functies. De oorspronkelijke functie is dan dezelfde lineaire combinatie van de betrokken bekende functies.

Als de laplacegetransformeerde een rationele functie is, kan deze de breuk door breuksplitsen geschreven worden als een som van bekende laplacegetransformeerden. Het eenvoudigste geval is dat waarbij de noemer geen complexe of meervoudige nulpunten heeft. De getransformeerde kan dan geschreven worden als (we noteren de reële nulpunten van de noemer als α₁,α₂):

$(\mathcal{L}f)(s)=\frac{A}{s-\alpha_1}+\frac{B}{s-\alpha_2}+...$ ,

zodat de gezochte inverse functie f(t) gevonden wordt als:

$f(t)=A e^{\alpha_1 t}+B e^{\alpha_2 t}+...$

[bewerk] Voorbeeld

We weten dat de getransformeerde van een functie gelijk is aan $\frac{3s-2}{s(s-1)}$ , de nulpunten van de noemer zijn verschillend en reëel, we splitsen in twee breuken:

$\frac{3s-2}{s(s-1)}=\frac{2}{s}+\frac{1}{s-1}$ ,

zodat de originele functie is:

$\! f(t)=(2+e^{t}) \mbox{ , voor }t\ge0$ .

[bewerk] Eigenschappen

De volgende eigenschappen kunnen aangetoond worden (na substituties, merk op dat hierbij de integratiegrenzen niet aangepast dienen te worden):

Lineariteit

$\mathcal{L} (af + bg) = a\mathcal{L}f+ b\mathcal{L}g$

Verschuiving van de tijdfunctie

$\mathcal{L}\{f(t-a)\}(s) = e^{-as}F(s)$

Verschuiving van de beeldfunctie

$\mathcal{L}t\{e^{at}f(t)\}(s) = F(s-a)$

Schaling van de tijdfunctie

$\mathcal{L}\{f(at)\}(s)= \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$

Getransformeerde van de afgeleide

$\mathcal{L}(f')(s) = sF(s) - f(0)$

Indien f(t) niet continu is in t = 0, dan is

$\mathcal{L}(f')(s) = sF(s) - f(0_+)$

Indien f(t) niet continu is in t = a, dan is

$\mathcal{L}(f')(s) = sF(s) - f(0) - e^{-as}\left\{f(a_+)-f(a_-)\right\}$

Algemeen voor hogere afgeleiden

$\mathcal{L}(f^{(n)})(s) = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \ldots - sf^{n-2}(0) - f^{n-1}(0)$

Getransformeerde van de primitieve

$\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(u)\,\mathrm{d}u\right\}(s)= \frac{F(s)}{s}$

Getransformeerde van tⁿf(t)

$\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}(s) = (-1)^{n}\frac{d^{n}F(s)}{ds^{n}} = (-1)^{n}F^{n}(s)$

Getransformeerde van f(t) / t

$\mathcal{L}\{\frac{f(t)}{t}\}(s) = \int_s^\infty F(u)\,du$

Periodieke functies (f(t) = f(t+T))

$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\mathcal{L}\{f(t+T)\}(s) =\frac{1}{(1-e^{-sT})}\int_0^T e^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t$

Beginwaardetheorema

$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$

Eindwaardetheorema

$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$

Gedrag voor s naar oneindig

$\lim_{s \to \infty} (\mathcal{L}f)(s) = 0$

Convolutietheorema of ook De Formule van Borel genoemd

$(\mathcal{L}(f*g))(s) = (\mathcal{L}f)(s)(\mathcal{L}g)(s)$

[bewerk] Verband met andere transformaties

[bewerk] met fouriertransformatie

De continue fouriertransformatie is equivalent met de tweezijdige laplace-integraal, indien we als argument $\! s = i\omega$ nemen:

$F(\omega) = (\mathcal{L}f)(s)|_{s = i \omega} = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t$ .

[bewerk] Met Z-transformatie

[bewerk] Laplacegetransformeerden van enkele functies

$\mathcal{L}\{a\}(s) = \frac{a}{s}$

$\mathcal{L}\{at\}(s) = \frac{a}{s^2}$

$\mathcal{L}\{at^q\}(s) = a\cdot\frac{\Gamma(q+1)}{s^{q+1}}$

$\mathcal{L}\{at^n\}(s) = a\cdot\frac{n!}{s^{n+1}} \qquad (n = 0,1,2,3,\ldots)$

$\mathcal{L}\{e^{at}\}(s) = \frac{1}{s-a}$

$\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s) = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}$

$\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s) = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}$

$\mathcal{L}\{\sinh(at)\}(s) = \frac{a}{s^{2}-a^{2}}$

$\mathcal{L}\{\cosh(at)\}(s) = \frac{s}{s^{2}-a^{2}}$

$\mathcal{L}\{\ln(at)\}(s) = -\frac{\gamma + \ln(s) - \ln(a)}{s}$

met $\gamma=0,5772156\ldots$ de constante van Euler.

[bewerk] Laplacegetransformeerden van speciale functies

Besselfuncties:

$\mathcal{L}\left\{J_0(at)\right\}(s) = \frac{1}{\sqrt{s^{2}+a^{2}}}$

$\mathcal{L}\left\{J_n(at)\right\}(s) = \frac{(\sqrt{s^2+a^2}-s)^n}{a^n\sqrt{s^2+a^2}}$

Errorfuncties:

$\mathcal{L}\left\{\operatorname{erf}(at)\right\}(s) = \frac{e^{\frac{s^2}{4a^2}}}{s}\operatorname{erfc}(\frac{s}{2a})$

Sinus-, cosinus- en exponentiële integraal:

$\mathcal{L}\left\{\operatorname{Si}(at)\right\}(s) = \frac{1}{s}\arctan(\frac{a}{s})$

$\mathcal{L}\left\{\operatorname{Ci}(at)\right\}(s) = \frac{\ln(\frac{s^2+a^2}{a^2})}{2s}$

$\mathcal{L}\left\{\operatorname{Ei}(at)\right\}(s) = \frac{\ln(\frac{s+a}{a})}{s}$

Stapfunctie:

$\mathcal{L}\left\{u(t-a)\right\}(s) = \frac{e^{-as}}{s}$

Dirac-deltafunctie:

$\mathcal{L}\{\delta(t)\}(s) = 1$

$\mathcal{L}t\{\delta(t-a)\}(s) = e^{-as}$

Entierfunctie:

$\mathcal{L}\left\{\left\lfloor\frac{t}{a}\right\rfloor\right\}(s) = \frac{e^{-as}}{s(1-e^{-as})}$

met $\lfloor x\rfloor$ de entierfunctie, dus het grootste gehele getal dat kleiner of gelijk is aan x.

[bewerk] Verband met differentiaalvergelijkingen

Nemen we de volgende differentiaalvergelijking als voorbeeld (x is een bekende functie):

$\!a y''+ by'+c y=A x'+Bx$ ,

we transformeren de beide leden:

$\!a s^2 Y(s)+bsY(s)+cY(s)=AsX(s)+B X(s)$ ,

waar uit volgt:

$\!Y(s)=H(s) X(s)=\frac{As+B}{a s^2+bs+c} X(s)$

hierbij is H(s) de overdrachtsfunctie. Aangezien x een bekende functie is, is ook zijn laplacegetransformeerde bekend, en daarmee ook de getransformeerde van y, Y(s). We berekenen de inverse van Y(s), en vinden de gezochte oplossing y(t).

[bewerk] Zie ook

Inverse laplacetransformatie
Fouriertransformatie
Inverse Fouriertransformatie

[bewerk] Externe link

Laplace transformatie uitgelegd door de Hogeschool Zeeland

Categorie: Functionaalanalyse