Polynoom

Van Wikipedia

Grafiek van de polynoom y = x² - x - 2.

Een polynoom (of veelterm), ook wel algebraïsche uitdrukking genoemd, in één variable x is een wiskundige uitdrukking van de vorm:

$\, a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$

met $n$ een natuurlijk getal.

Een polynoom is dus een uitdrukking waarin enkel de twee basisbewerkingen van de rekenkunde (optelling en vermenigvuldiging) een eindig aantal keren in voorkomen, of die op die manier herschreven kan worden. We kunnen reële veeltermen onderscheiden, waarin alleen reële getallen voorkomen, en complexe veeltermen, waarin complexe getallen voorkomen.

Polynomen vormen een belangrijke klasse van functies met veel toepassingen. Het zijn relatief eenvoudige functies, die continu en differentieerbaar zijn. Zij worden onder meer gebruikt als benadering voor ingewikkelder functies.

Inhoud

1 Toelichting
2 Nulpunten van een polynoom
3 Polynomen in meer variabelen
- 3.1 Voorbeeld
4 Speciale polynomen
5 Externe links

[bewerk] Toelichting

De getallen $a k$ heten de coëfficiënten van de polynoom. De hoogste macht van x die voorkomt, waarbij dus de coëfficiënt verschilt van 0, heet de graad van de polynoom.

De constante 0 heeft geen graad. Eventueel kan men stellen dat de graad van 0 de waarde -1 of min oneindig heeft.

De minimumeis voor de coëfficiënten is dat ze een commutatieve ring vormen, bijvoorbeeld gehele getallen, breuken, reële of complexe getallen. We spreken dan van polynomen over $\Z$ , $\mathbb{Q}$ , $\R$ of $\mathbb{C}$ .

Elke polynoom over $\R$ kan worden voorgesteld als een curve in het platte vlak:

eerstegraadspolynomen zien er uit als rechte lijnen,
tweedegraadspolynomen als parabolen.

De polynoom kan worden opgevat als de vector van z'n coëfficiënten in een meerdimensionale ruimte.

Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de hoofdstelling van de algebra geformuleerd die zegt dat elke polynoom van graad n over het lichaam van de complexe getallen kan worden ontbonden in n lineaire (d.w.z. van graad 1) factoren:

$\,a_n (x- b_1)(x-b_2) ... (x-b_n)$

De getallen b₁, b₂ enz. staan bekend als de wortels of nulpunten van de polynoom. Het aantal wortels van een veelterm is dus gelijk aan de graad (hoewel sommige wortels kunnen samenvallen).

Veeltermen over $\mathbb{R}$ kunnen beschouwd worden als speciale gevallen van veeltermen over $\mathbb{C}$ . Zij hebben dus eveneens n complexe nulpunten, die in bijzondere gevallen reëel zijn. Hier geldt de eigenschap dat elke reële veelterm van oneven graad minstens één reëel nulpunt heeft, en dat de eigenlijke complexe nulpunten steeds in complex toegevoegde paren voorkomen.

Een breuk van twee polynomen heet een rationale functie. De wortels van de teller heten nulpunten en die van de noemer polen.

[bewerk] Nulpunten van een polynoom

Een polynoom is op een multiplicatieve constante na gedefinieerd door zijn (complexe) nulpunten: $P(x) = c (x-b_1)(x-b_2) \cdots (x-b_n)$ waarbij de $b i$ nulpunten zijn van de polynoom.

Omgekeerd zijn die nulpunten de oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de polynoom gelijk aan nul te stellen. Zo ontstaat een algebraïsche vergelijking met één onbekende (x) van de volgende vorm:

$\sum_{i=0}^{n}a_i x^i=0$

Hierin is elke $\,a_i$ een constante die de i-de graads coëfficiënt genoemd wordt. De graad van de polyoom wordt ook de graad van de vergelijking genoemd. Alleen de vergelijking 0 = 0 heeft geen graad, omdat hier alle coëfficiënten gelijk aan nul zijn.

Een speciaal geval vormen de polynomen met gehele coëfficiënten. Een nulpunt van zo'n polynoom wordt algebraïsch getal genoemd. Een getal dat niet algebraïsch is noemt men een transcendent getal.

[bewerk] Polynomen in meer variabelen

Er zijn ook polynomen in meer dan een variabele. Een polynoom in m variabelen (x₁ tot x_m) van de orde n, is dan een uitdrukking van de volgende vorm (of daartoe herleidbaar):

$\, a_0 + \sum_{1\leq i \leq m} a_{1,i} x_i + \sum_{1 \leq i_1 \leq i_2 \leq m}a_{2,i_1,i_2} x_{i_1} x_{i_2} + ... + \sum_{1 \leq i_1 \leq ... \leq i_n \leq m} a_{n,i_1,...,i_n} x_{i_1}\cdots x_{i_n}$ ,