Groep (wiskunde)

Van Wikipedia

Algebraïsche structuren
Monoïde Groep Ring / Ideaal Lichaam/Veld
Moduul Vectorruimte Algebra
Categorie Tralie Boole-algebra

In de wiskunde is een groep een verzameling met daarop een binaire bewerking gedefinieerd met eigenschappen die als het ware "gewoon" rekenen mogelijk maken. Het onderdeel van de wiskunde dat groepen bestudeert, heet groepentheorie.

De historische oorsprong van groepentheorie gaat terug naar de tijd van Evariste Galois (1811 - 1832).

Inhoud

1 Definitie
2 Notaties
3 Enkele voorbeelden
4 Eenvoudige eigenschappen
- 4.1 Bewijs van de uniciteit van het neutrale element
- 4.2 Bewijs van de uniciteit van de inverse
5 Deelgroep
6 Isomorfie
7 Symmetrie
8 Hogere groepentheorie
- 8.1 Zie ook

[bewerk] Definitie

Een groep $(G, * )$ is een niet-lege verzameling G met een associatieve binaire bewerking $* : G \times G \rightarrow G$ , een voor de bewerking neutraal element $e$ en bij elk element a een voor de bewerking invers element $a - 1$ .

Het is gebruikelijk om $a * b$ te schrijven in plaats van $* (a, b)$ voor het resultaat van de bewerking * toegepast op de elementen a en b van G.

De genoemde eigenschappen van de bewerking houden in:

Associativiteit: $\forall a, b, c \in G: (a*b)*c = a*(b*c)$ . Met de binaire bewerking op de gewone manier geschreven luidt deze eigenschap: *(*(a,b),c) = *(a,*(b,c))
Neutraal element (ook wel eenheidselement genaamd): $\exists e: \forall a \in G: e*a = a = a*e$
Invers element: $\forall a \in G : \exists a^{-1} \in G: a*a^{-1} = e = a^{-1}*a$ .

Merk op dat een groep niet noodzakelijk commutatief moet zijn, i.e.:

Commutativiteit: $\forall a,b \in G: a*b = b*a$

Een groep die wel commutatief is, noemt men een abelse groep (naar de wiskundige Niels Abel).

Er wordt onderscheid gemaakt tussen eindige en oneindige groepen.

[bewerk] Notaties

De groep van alle permutaties van een rij van n elementen heet de symmetrische groep $\mathcal{S}_n$ . De naam van deze groep is niet ontleend aan de symmetrie in de groep.

Er zijn twee gangbare notaties voor de bewerkingen. Meestal maakt men gebruik van de multiplicatieve notatie:

We schrijven a·b of ab in plaats van a*b en noemen dit het product van a en b.
Het neutraal element wordt als 1 of als e genoteerd.
De inverse van een element a wordt als a^-1 genoteerd.

Indien de bewerking commutatief is, wordt vaak gebruikgemaakt van de additieve notatie:

We schrijven a+b in plaats van a*b en noemen dit de som van a en b.
Het neutraal element wordt als 0 genoteerd.
De inverse van een element a wordt genoteerd als -a

[bewerk] Enkele voorbeelden

De gehele getallen met de optelling, genoteerd als (Z, +), is een abelse groep.
De rationale getallen (zonder de nul) met de vermenigvuldiging (Q\{0}, ·) is een abelse groep.
De natuurlijke getallen met de optelling (N, +) is géén groep, want bvb. 2 heeft geen inverse, omdat er geen natuurlijk getal is dat opgeteld bij 2 als resultaat 0 oplevert.
Permutatiegroepen en matrixgroepen.
Bepaalde draaiingen en translaties vormen een groep, die toepassing vindt in de leer van de symmetrie, bijvoorbeeld translatiesymmetrie. Continue symmetrieën, zoals rotatiesymmetrie, worden gemodelleerd door Lie-groepen.

[bewerk] Eenvoudige eigenschappen

Een groep heeft precies één neutraal element.
Elk element heeft precies één inverse.
De inverse van een product is gelijk aan het product van de inversen in omgekeerde volgorde, d.w.z.: (a*b)^-1 = b^-1*a^-1.
Bij herhaalde bewerking a₁*a₂*···*a_n hoef je geen haakjes te schrijven, want wegens de associativiteit is deze uitdrukking ondubbelzinnig.

[bewerk] Bewijs van de uniciteit van het neutrale element

Stel dat e' ook neutraal element is. Dan is:

$e'*e = e \,$ ,

maar omdat e zelf neutraal element is geldt ook:

$e'*e = e' \,$ ,

Gevolg:

$e'=e \,$ .

[bewerk] Bewijs van de uniciteit van de inverse

Stel $x \in G$ en $a, b \in G$ zijn beide inversen van $x$ . Dan:

$x*a = a*x = e = x*b = b*x\,$ ,

dus

$a = a*e = a*(x*b) = (a*x)*b = e*b = b\,$ .

Blijkbaar geldt voor alle inversen van $x$ dat ze aan elkaar gelijk zijn, ofwel de inverse is uniek.

Uit de uniciteit van de inverse volgt:

$a*x=b \Rightarrow x = a^{-1}*b$

$x*a=b \Rightarrow x = b*a^{-1}$

[bewerk] Deelgroep

Als (G,*) een groep is en H een deelverzameling is van G, en (H,*), met * beperkt tot HxH, is een groep, dan heet (H,*') een deelgroep van (G,*).

De verzameling van de even getallen voorzien van de optelling, is een deelgroep van de gehele getallen voorzien van de optelling.

De stelling van Lagrange: Voor een eindige groep geldt dat het aantal elementen van een deelgroep een deler is van het aantal elementen van de groep.

Deelgroep en ondergroep betekenen hetzelfde.

[bewerk] Isomorfie

Twee isomorfe groepen G en H, dus met een isomorfie ertussen, zijn wat de groepstructuur betreft eigenlijk hetzelfde.

[bewerk] Symmetrie

Iedere groep heeft een bepaalde symmetrie. Dat betekent het volgende. Neem twee geconjugeerde elementen a en b van de groep G. Dan is er een permutatie $\pi\$ van G, zodat G en $\pi\$ (G) isomorf zijn, die a op b afbeeldt. Op die manier is G symmetrisch.

[bewerk] Hogere groepentheorie

Het enumeratieprobleem voor eindige groepen is herleidbaar tot het enumeratieprobleem van eindige enkelvoudige groepen.

Een eindige enkelvoudige groep behoort tot een van de volgende 5 families van groepen:

Alleen de familie van sporadische groepen is eindig en bestaat uit 26 groepen; de andere families zijn oneindig.

[bewerk] Zie ook

ring,
lichaam of veld.

Categorie: Groepentheorie