Tangens en cotangens

Van Wikipedia

Tangens en cotangens zijn goniometrische functies. De naam tangens komt van 'raaklijn' in het Latijn. Het argument van de tangens en de cotangens wordt vaak gezien als een hoek en dat heeft te maken met de oorspronkelijke definitie van deze functies. De tangens was gedefinieerd als de verhouding van de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. Deze oorspronkelijke definitie beperkte echter het domein van het argument van 0° tot 90° (behalve 90° zelf, waar de tangens niet gedefinieerd is). De inverse functie van de tangens is de arctangens of de boogtangens, deze zal een gegeven waarde terug afbeelden op de oorspronkelijke hoek.

De (y-)waarde van de tangensfunctie loopt van 0 tot oneindig (voor een argument lopend van 0° tot 90°) en van min oneindig terug naar 0 (voor een argument lopend van 90° tot 180°); daarbuiten wordt de functie periodiek voortgezet.

$\, \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

$\, \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ .

Beide kunnen dus uitgedrukt worden in de sinus en de cosinus.

De cotangens van een hoek is dus de omgekeerde van de tangens van die hoek:

$\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$

De tangens wordt meestal afgeduid met tan, en de cotangens met cot. Vroeger werden de namen tg en cotg gebruikt.

[bewerk] Bijzondere waarden

graden	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°
radialen	$0\,$	$\begin{matrix}\frac16\end{matrix}\pi$	$\begin{matrix}\frac14\end{matrix}\pi$	$\begin{matrix}\frac13\end{matrix}\pi$	$\begin{matrix}\frac12\end{matrix}\pi$	$\begin{matrix}\frac23\end{matrix}\pi$	$\begin{matrix}\frac34\end{matrix}\pi$	$\begin{matrix}\frac56\end{matrix}\pi$	$\pi\,$	$\begin{matrix}\frac32\end{matrix}\pi$
tangens	$0\,$	$\begin{matrix}\frac 13 \end{matrix}\sqrt{3}$	$1\,$	$\sqrt{3}$	geen	$-\sqrt{3}$	$-1\,$	$-\begin{matrix}\frac 13 \end{matrix}\sqrt{3}$	$0\,$	geen
cotangens	geen	$\sqrt{3}$	$1\,$	$\begin{matrix}\frac 13 \end{matrix}\sqrt{3}$	$0\,$	$-\begin{matrix}\frac 13 \end{matrix}\sqrt{3}$	$-1\,$	$-\sqrt{3}$	geen	$0\,$

[bewerk] Goniometrische cirkel

[bewerk] Machtreeks

De tangens kan ook in de vorm van een machtreeks geschreven worden, bijvoorbeeld als Taylorreeks.
Voor |x| < π/2 geldt:

$\tan (x) = x + \frac 13 x^3 + \frac{2}{15} x^5 + \frac{17}{315}x^7+ \dots = \sum_{n=1}^\infty |B_{2n}| \frac{2^{2n} \left(2^{2n}-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1}$