Dyskusja:Baza (przestrzeń liniowa)
Z Wikipedii
[edytuj] Propozycja zmiany
Cytat:
- Okazuje się, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna.
Coś tu się chyba zapętliło: skoro dopiero dowodzimy, że przestrzeń ma bazę, to skąd mamy wiedzieć, czy "istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń"? Gdybyśmy to wiedzieli (skąd?), to byłoby po dowodzie. Ponadto nie warto chyba rozpatrywać tych dwóch przypadków osobno: jeśli przestrzeń jest skończeniewymiarowa, to jest izomorficzna z Fn, gdzie F jest odpowiednim ciałem, i istnienie bazy jest trywialne. Proponuję ten akapit zmienić na coś w tym stylu (być może jest tu za dużo linków?):
[edytuj] Istnienie bazy
- Okazuje się, że każda przestrzeń liniowa posiada bazę. Standardowy dowód przebiega następująco: rodzina wszystkich zbiorów zbiorów liniowo niezależnych jest niepusta (bo zawiera np. wszystkie jednoelementowe podzbiory rozważanej przestrzeni) oraz częściowo uporządkowana relacją inkluzji; suma każdego łańcucha w tej rodzinie jest też zbiorem liniowo niezależnym. Wystarczy teraz zastosować lemat Kuratowskiego-Zorna. Rozumowanie to pozwala też udowodnić tzw. twierdzenie Steinitza o uzupełnianiu, mówiące o tym, że każdy liniowo niezależny zbiór wektorów przestrzeni liniowej można uzupełnić do bazy.
- Dowodzi się również, że istnienie bazy w każdej przestrzeni liniowej jest równoważne aksjomatowi wyboru.
Mbork 21:07, 22 lip 2005 (CEST)
