Baza (przestrzeń liniowa)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Baza przestrzeni liniowej – pojęcie będące rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich. Baza umożliwia wprowadzenie w przestrzeni liniowej układu współrzędnych.

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Inne określenia
  - 1.1.1 Przykład
  - 1.1.2 Inny przykład
- 1.2 Współrzędne wektora w bazie
  - 1.2.1 Przykład
2 Istnienie bazy
- 2.1 Wymiar przestrzeni liniowej
3 Przestrzenie euklidesowe
4 Uogólnienia
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Baza przestrzeni liniowej to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych w tej przestrzeni.

Słowo maksymalny może być tu interpretowane tak: każdy inny zbiór wektorów, zawierający bazę jako swój właściwy podzbiór, jest już liniowo zależny.

Bazę przestrzeni liniowej określoną jak wyżej, nazywa się czasem bazą Hamela, dla odróżnienia od innych pojęć bazy, spotykanych w przestrzeniach liniowych.

[edytuj] Inne określenia

Inne, równoważne określenia bazy:

Jest to minimalny zbiór wektorów taki, że każdy wektor przestrzeni V jest kombinacją liniową wektorów tego zbioru. Zbiór o tej własności nazywamy zbiorem generującym przestrzeń.
Zbiór wektorów B ⊆ V jest bazą, gdy spełnione są następujące warunki:
1. wektory w B są liniowo niezależne.
2. zbiór B generuje całą przestrzeń V, tzn. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.

Innymi słowy: baza układu wektorów w przestrzeni liniowej jest liniowo niezależną powłoką liniową tego układu.

Każdy wektor przestrzeni daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy. Jednoznacznie oznacza tu "tylko jednym sposobem" – jeżeli pewien wektor daje się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów danego zbioru na dwa różne sposoby, to ten zbiór na pewno nie jest bazą przestrzeni.

[edytuj] Przykład

Dany jest zbiór A = {(0, 1), (1, 1), (1, 0)} wektorów w przestrzeni euklidesowej R². Zauważmy, że wektor (1, 1) można przedstawić jako:

(1, 1) = 1·(1, 0) + 1·(0, 1) .

Wynika stąd, że A nie jest bazą przestrzeni R².

Z drugiej strony, niech B = {(1, 1), (1, 0)} i niech (x, y) będzie dowolnym wektorem R². Szukając przedstawienia wektora (x, y) jako kombinacji liniowej wektorów zbioru B mamy:

(x, y) = α·(1, 1) + β·(1, 0) = (α + β, α) skąd α = y i β = x – y.

Zatem przedstawienie wektora (x, y) jako kombinacji liniowej elementów zbioru B jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór B jest bazą przestrzeni R².

[edytuj] Inny przykład

Zbiór pusty jest bazą jednoelementowej przestrzeni {0}.

[edytuj] Współrzędne wektora w bazie

Niech W będzie bazą przestrzeni V, a

v = α_w₁w₁ + α_w₂w₂ + ... + α_{w_n}w_n

przedstawieniem wektora v w bazie W. Z definicji bazy, przedstawienie to jest jednoznaczne – biorąc inny układ skalarów (α_{w_i}) otrzymamy wektor różny od v. Oznacza to, że wektor v jest jednoznacznie wyznaczony przez reprezentujący go w bazie W układ skalarów (α_{w_i}). Układ ten nazywamy układem współrzędnych wektora v w bazie W, a same skalary współrzędnymi wektora.

[edytuj] Przykład

Z poprzedniego przykładu wynika, że współrzędne wektora (-3, 4) w bazie B są równe 1_(1,1), -3_(1,0). Indeksy przy współrzędnych wskazują, z którym wektorem należy łączyć daną współrzędną – zmiana kolejności współrzędnych dałaby wektor 4·(1, 0) + (-7)(1, 1) = (-3, -7).

[edytuj] Istnienie bazy

Okazuje się, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na łatwe otrzymanie wektorów tworzących bazę.

Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni. Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.

[edytuj] Wymiar przestrzeni liniowej

Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne. Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.

Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywamy skończenie wymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.

[edytuj] Przestrzenie euklidesowe

Dowolna przestrzeń euklidesowa jest oczywiście skończenie wymiarowa. Jej bazę złożoną z wektorów (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1) nazywamy bazą kanoniczną. Układ współrzędnych dowolnego wektora v = (v₁, v₂, ..., v_n) w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.

[edytuj] Uogólnienia

W przestrzeniach liniowych topologicznych częściej niż rozważane tu pojęcie bazy Hamela ważniejszą rolę odgrywa pojęcie bazy zdefiniowane jako liniowo niezależny zbiór wektorów, o tej własności, że każdy wektor jest sumą nieskończonego ciągu wektorów bazowych. Dotyczy to w szczególności przestrzeni Hilberta i przestrzeni Banacha. W przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia oczywiście się pokrywają.