Aksjomat wyboru

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Aksjomat wyboru (oznaczany AC) to jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Dla każdej rodziny $\mathcal{U}$ niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór

V

, do którego należy dokładnie po jednym elemencie każdego ze zbiorów z tej rodziny $\mathcal{U}$ (zbiór taki nazywany jest selektorem).

$\bigwedge_{\mathcal{U}} \Bigg[\Big(\bigwedge _{X \in \mathcal{U}} X \neq \varnothing\Big) \land \Big(\bigwedge _{X,Z \in \mathcal{U}} \big(X \neq Z \Rightarrow X \cap Z = \varnothing\big)\Big) \implies \bigvee_V \bigwedge_{X \in \mathcal{U}} \bigvee_Z \big(X \cap V= \{Z\}\big)\Bigg]$

Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jest:

iloczyn kartezjański dowolnej liczby niepustych zbiorów jest niepusty.

Elementami iloczynu kartezjańskiego $\prod_{i\in I} A_i$ są funkcje $f\colon I\to \bigcup_{i\in I}A_i$ spełniące $f(i)\in A_i$ dla każdego $i\in I$ . Aksjomat wyboru postuluje:

Jeśli $\{A_i\colon i\in I\}$ jest rodziną zbiorów spełniącą warunek $A_i\neq \varnothing$ dla każdego $i\in I$ , wówczas istnieje funkcja wyboru

f

taka, że $f(i)\in A_i$ dla każdego $i\in I$ .

Równoważne aksjomatowi wyboru są także tak zwany lemat Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzenie mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować.

Spis treści

1 Kontrowersje związane z aksjomatem wyboru
2 Słabsze formy aksjomatu wyboru
3 Zobacz też
4 Bibliografia
5 Przypisy

[edytuj] Kontrowersje związane z aksjomatem wyboru

Aksjomat wyboru jest trywialny (i wynika z innych aksjomatów), jeśli zastosować go do skończonych rodzin zbiorów. W przypadku, kiedy mamy do czynienia z nieskończoną rodziną zbiorów, wydaje się również intuicyjny, lecz jego konsekwencje są zaskakujące. Na przykład, Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli. Mówi ono, że w przestrzeni euklidesowej R³ można podzielić kulę na skończoną liczbę części, z których da się złożyć dwie kule o takiej samej średnicy, co kula wyjściowa.

Obecnie większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru. Przy twierdzeniach, których dowód go wykorzystuje, przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt. Dowody twierdzeń, w których używa się aksjomatu wyboru nazywa się dowodami nieefektywnymi.

Można również rozważać modele teorii mnogości (tzn aksjomatów ZF), w których prawdziwa jest negacja aksjomatu wyboru.

[edytuj] Słabsze formy aksjomatu wyboru

Czasami matematycy asekurując się przed paradoksalnymi następstwami zakładania aksjomatu wyboru ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji, jednak w wielu zastosowaniach wystarczających i nierzadko wygodniejszych.

Te słabsze formy są często podobne do aksjomatu wyboru, i tylko ograniczają rozważone rodzine niepustzch zbiorów, np do skończonych zbiorów (ACF), albo pozwolą żę funkcja wyboru wybiera podzbior każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu. Następujące postulaty wynikają, oczywiście, z ZFC.:

Zasada wyboru - SP^[1]

Dla każdego zbioru

X

, istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu, co najmniej dwuelementowemu podzbiorowi zbioru

X

pewien niepusty, właściwy podzbiór zbioru

X

Aksjomat wyboru dla zbiorów dających się dobrze uporządkować - ACWO

Dla każdego zbioru

X

istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden elemenet $x\in X$ każdemu niepustemu podzbiorowi zbioru

X

dającemu się dobrze uporządkować.

Aksjomat wyboru dla zbiorów skończonych - ACF

Dla każdego zbioru

X

istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden elemenet $x\in X$ każdemu niepustemu, skończonemu podzbiorowi zbioru

X

Aksjomat wyboru dla zbiorów n-elementowych - C_n

Dla każdego zbioru

X

istnieje funkcja wybierająca po jednym elemencie z każdego n-elementowego podzbioru zbioru

X

Przeliczalny aksjomat wyboru - CAC albo AC_ω

Dla każdej przeliczalnej rodziny zbiorów istnieje funkcja wyboru.

Inne wersje wynikają z aksjomatu wyboru, ale mają całkowice inną formę:

Aksjomat liniowego uporządkowania - OP

Każdy zbiór da się liniowo uporządkować.

Aksjomat podziału - PP

Każdy zbiór nieskończony da się podzielić na dwa nieskończone, rozłączne zbiory.

(Aksjomat ten jest bardzo słaby: na przykład, nie można przy jego założeniu udowodnić, że każdy nieskończony zbiór da się podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych rozłącznych zbiorów.)

Zasada wyborów zależnych - PDC albo DC

Niech

X

będzie niepustym zbiorem, oraz $R\subseteq X\times X$ będzie pewną relacją na

X

. Jeżeli

$\bigwedge_{x\in X}\bigvee_{y\in Y} xRy$

wówczas istnieje ciąg

(x n)

elementów zbioru

X

, że

$x_0Rx_1, x_1Rx_2, x_2Rx_3, \ldots, x_nRx_{n+1}, \ldots$

(Już podstawowe twierdzenia w analizie i teorii miary potrzebują założenia PDC albo przynajmniej CC (np. aby udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów miary zero). Istnienie zbiorów niemierzalnych nie wynika z aksjomatów ZF+PDC, czyli układ

ZF+PDC+"każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest mierzalny"

jest niesprzeczny.)

Istnienie ultrafiltrów - BPI

Na każdej algebrze Boole'a istnieje ultrafiltr.

(Ten aksjomat wystarczy aby udowodnić np twierdzenie o zwartości, twierdzenie Hahna-Banacha, istnienie zbiorów niemierzalnych, i twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni T₂.)

Prawdziwe są następujące ciągi implikacji:

AC ⇒ PDC ⇒ CAC

AC ⇒ SP ⇒ OP ⇒ ACF ⇒ ∀n C_n ⇒ C_m ⇒ PP

AC ⇒ BPI ⇒ OP

AC ⇒ ACWO ⇒ ACF

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

De La Cruz, Omar i Di Prisco, Carlos Augusto. Weak forms of the axiom of choice and partitions of infinite sets. Dordrecht : Kluwer Acad. Publ., 1998.
Jech, Thomas. The Axiom of Choice. Amsterdam : North Holland, 1973.

[edytuj] Przypisy

↑ Nazwy skrótów pochodzą z języka angielskiego, odpowiednio od Selection Principle, Axiom of choice for well orderable sets, Axiom of choice for finite sets, Axiom of choice for finite sets of n elements, Countable axiom of choice, The Ordering Principle, Partition Principle, Principle of dependent choices, Boolean prime ideal theorem.