Ciąg (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
- 2.1 Zbieżność
3 Ciągi liczbowe
- 3.1 Przykład
4 Wyraz ogólny
- 4.1 Przykład
5 Rodzaje ciągów
6 Specjalne ciągi
7 Zobacz też
8 Linki zewnętrzne

Ciąg – pojęcie matematyczne, intuicyjnie można je zrozumieć jako listę ponumerowanych elementów pewnego zbioru.

[edytuj] Definicja

Ciągiem nazywamy dowolną funkcję $a: I \to X$ , gdzie $I \subseteq \mathbb N$ , zaś $X$ jest dowolnym zbiorem. Zwykle $I = \{1, \dots, k\}$ lub $I = \mathbb N$ . Gdy zbiór $I$ jest skończony, to ciąg również nazywamy skończonym, w przeciwnym wypadku zaś nazywa się go nieskończonym.

Argumenty funkcji $a$ nazywa się indeksami ciągu, jej wartości określa się mianem wyrazów ciągu. Dlatego też zbiór $I$ nazywa się czasami zbiorem indeksów ciągu.

Dodatkowo przyjęto, aby wyrazy $a (i)$ pisać jako $a i$ – takie wyrazy, zależne od parametru, nazywa się wyrazami ogólnymi (w przeciwieństwie do „konkretnych”; wyrazów $a 3, a 47, a 22$ ).

Ciąg oznacza się poprzez podanie w nawiasach jego wyrazu ogólnego i zbioru indeksów, np. $(a_i)_{i \in I}$ lub $(a_i)_{i=1}^\infty$ .

[edytuj] Własności

W zależności od własności funkcji $a$ przypisującej ciągowi $(a_i)_{i \in I}$ wyrazy można wyróżnić odpowiednio:

ciągi stałe dla funkcji stałej,
ciągi monotoniczne (rosnące, malejące itp.) dla funkcji monotonicznej,
ciąg ograniczony dla funkcji ograniczonych itd.

[edytuj] Zbieżność

Zobacz więcej w osobnych artykułach: ciąg zbieżny, granica ciągu.

Nietrywialną własnością ciągu jest jego zbieżność lub rozbieżność. Pojęciem powiązanym z powyższymi jest tzw. ciąg Cauchy'ego.

[edytuj] Ciągi liczbowe

Ciąg o wyrazach będących liczbami nazywa się ciągiem liczbowym. Jeśli istnieje potrzeba sprecyzowania zbioru liczb, np. całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, to ciąg nazywa się wówczas odpowiednio: całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym.

[edytuj] Przykład

Prostymi przykładami ciągów są:

ciąg złożony wyłącznie z wyrazu $5$ (tzw. ciąg stały, w którym każdy wyraz jest identyczny),
ciąg kolejnych liczb naturalnych, czyli po prostu $1,\; 2\;, 3\;, \dots$ .

[edytuj] Wyraz ogólny

Zdarza się, że kolejny wyraz ciągu zależy od poprzedniego lub jest zależny wprost od swego indeksu, wówczas bardzo często ciągi określa się podając kilka pierwszych jego wyrazów, szczególnie wtedy, gdy reguła rządząca tworzeniem kolejnych wyrazów nie jest skomplikowana.

[edytuj] Przykład

Zobacz też: rekursja.

Łatwo następny wyraz nieskończonego ciągu

$-1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \dots$ ,

którym jest liczba $4$ . Podług tej samej reguły można wyznaczać dalsze wyrazy tego ciągu. W zależności od spojrzenia na problem można podać dwie reguły na obliczanie kolejnych wyrazów tego ciągu (oznaczmy go $(a_n)_{n=1}^\infty$ :

$a n = n - 2$ w zależności od indeksów,
$a n = a n - 1 + 1$ dla $n > 5$ w zależności od poprzednich wyrazów (takie ciągi nazywamy rekurencyjnymi).

Aby zdefiniować cały ciąg w drugim przykładzie należy podać (powyżej mieliśmy podane pierwsze wyrazy tego ciągu) pierwszy wyraz tego ciągu: $a 1 = - 1$ , oczywiście powyższy wzór na $n$ -ty wyraz ciągu obowiązuje już dla $n \ge 2$ .

[edytuj] Rodzaje ciągów

Ze względu na sposób generowania danego ciągu wyróżnia się różne rodzaje ciągów:

arytmetyczny, gdy kolejne wyrazy różnią się o stałą wielkość
geometyczny, gdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego przez stały współczynnik,
ciąg Eulera,
ciąg Fibonacciego.

[edytuj] Specjalne ciągi

Zobacz więcej w osobnych artykułach: ciąg funkcyjny, szereg (matematyka).

Zgodnie z definicją ciągu wyrazy mogą być elementami dowolnego zbioru, a więc nie tylko zbiorów liczbowych. Jednym z najbardziej rozpowszechnionych zbiorów jest przestrzeń funkcyjna, czyli gdy wyrazami ciągu są funkcje, wtedy taki ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym.

Innym bardzo rozpowszechnionym rodzajem ciągów są tzw. szeregi. Ciąg (nieskończony), którego kolejnymi elementami są sumy początkowych wyrazów innego ciągu (nieskończonego), nazywamy szeregiem (nieskończonym). Oczywiście dla odpowiednio ciągów liczbowych i ciągów funkcyjnych istnieją szeregi liczbowe i szeregi funkcyjne.