Grupa przemienna
Z Wikipedii
Grupa przemienna (abelowa) – grupa posiadająca przemienne działanie, zwykle do jej zapis stosuje się zapis addytywny.
Nazwa „abelowa” pochodzi od nazwiska Nielsa Abela, norweskiego matematyka, w którego pracach implicite pojawia się to pojęcie. Grupę, która nie jest przemienna nazywamy nieprzemienną lub nieabelową.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Grupa jest abelowa, jeśli spełnia aksjomaty grupy oraz dodatkowo warunek przemienności:
.
[edytuj] Własności
- Grupy Zn jako cykliczne są abelowe dla
, - G jest przemienna
,
- np. (ab)2 = abab = aabb = a2b2.
[edytuj] Przykłady
- każda grupa cykliczna:
- grupa
(grupa liczb całkowitych z działaniem dodawania), - grupa addytywna liczb rzeczywistych (zbiór liczb rzeczywistych z działaniem dodawania),
- grupa multiplikatywna liczb rzeczywistych (zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera z działaniem mnożenia),
- grupa multiplikatywna liczb rzeczywistych większych od zera;
- grupa
- grupa symetryczna Sym(n) dla
, dla n > 2 grupa ta jest nieprzemienna;
- grupa bijekcji liczb rzeczywistych (zbiór wzajemnie jednoznacznych funkcji zbioru rzeczywistego lub zespolonego z naturalnym działaniem dodawania funkcji: (f + g)(x) = f(x) + g(x)).
- grupa addytywna macierzy ustalonego wymiaru nad danym ciałem;
- grupa czwórkowa Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa abelowa.
