Kwadrat (geometria)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Kwadrat

• kolor czarny - kwadrat,
• kolor niebieski: koło opisane;
• kolor brązowy: koło wpisane;

Kwadrat - w geometrii wielokąt foremny, jedna z podstawowych i najważniejszych figur. Posiada cztery parami równe, równoległe boki o tej samej długości oraz cztery przystające do siebie kąty o tej samej rozwartości. Jest to szczególny przypadek prostokąta (o wszystkich bokach równych) a także rombu (o wszystkich kątach równych).

Przekątne kwadratu są wzajemnie prostopadłe oraz mają jednakową długość. Ich punkt przecięcia dzieli każdą z nich na dwie równe części. Punkt ten jest także środkiem symetrii kwadratu. Przekątne kwadratu zawarte są w dwusiecznych jego kątów.

Kwadrat na płaszczyźnie posiada cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne, pozostałe dwie to symetralne boków. Osie symetrii kwadratu dzielą go na 8 przystających trójkątów.

Każde dwa kwadraty są do siebie podobne. Kwadraty są ścianami niektórych wielościanów, m.in. sześcianu czy też ośmiościanu ściętego.

[edytuj] Wzory

$a\$ - długość jednego boku kwadratu.

Wzór na pole powierzchni kwadratu:

$S = a \cdot a = a^2\,$

Wzór na obwód kwadratu:

$L = 4 \cdot a\,$

Wzór na długość przekątnej kwadratu:

$d= a\sqrt{2}$

Wzór na promień koła wpisanego w kwadrat:

$r= \frac{1}{2} \cdot a$

Wzór na pole powierzchni koła wpisanego w kwadrat:

$S_r= \frac{1}{4} \cdot a^2 \pi \approx 0,785 a^2$

Wzór na obwód koła wpisanego w kwadrat:

$L_r= \pi \cdot a \approx 3,14 a \,$

Wzór na promień koła opisanego kwadratu:

$R = \frac{1}{2} a \sqrt{2} = \frac{1}{2}d \,$

Wzó na pole koła opisanego kwadratu:

$S_R= \frac{1}{2} \pi a^2 \approx 1,57 a^2 \,$

Wzór na obwód koła opisanego kwadratu:

$L_R= \pi a \sqrt{2} \approx 4,44 a$

[edytuj] Zależności kwadratu

Tabela przedstawia podstawowe zależności w kwadracie:

	$a\,$	$d\,$	$S\,$	$r\,$	$R\,$	$L_r\,$	$L_R\,$	$S_r\,$	$S_R\,$
$a=\,$	$a\,$	$\frac{d \sqrt{2}}{2}$	$\sqrt{S}$	$2r\,$	$R \sqrt{2}$	$\frac{L_r}{\pi}$	$\frac{L_R \sqrt{2}}{2 \pi}$	$2 \sqrt{ \frac{S_r}{\pi} }$	$\sqrt{ \frac{2 S_R}{\pi} }$
$d=\,$	$a \sqrt{2}$	$d\,$	$\sqrt{2S}$	$2r\sqrt{2}$	$2R\,$	$\frac{L_r \sqrt{2}}{\pi}$	$\frac{L_R}{\pi}$	$2 \sqrt{\frac{2 S_r}{\pi} }$	$2 \sqrt{ \frac{S_R}{\pi} }$
$S=\,$	$a^2\,$	$\frac{1}{2} d^2$	$S\,$	$4r^2\,$	$2R^2\,$	$\left( \frac{L_r}{\pi} \right)^2$	$\frac{1}{2} \left( \frac{L_R}{\pi} \right)^2$	$\frac{4 S_r}{\pi}$	$\frac{2 S_R}{\pi}$
$r=\,$	$\frac{1}{2} a$	$\frac{d \sqrt{2}}{4}$	$\frac{1}{2} \sqrt{S}$	$r\,$	$\frac{R \sqrt{2}}{2}$	$\frac{L_r}{2\pi}$	$\frac{L_R \sqrt{2}}{4 \pi}$	$\sqrt{ \frac{S_r}{\pi} }$	$\sqrt{ \frac{S_R}{2 \pi} }$
$R=\,$	$\frac{a \sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2} d$	$\frac{\sqrt{2S}}{2}$	$r\sqrt{2}$	$R\,$	$\frac{L_r \sqrt{2}}{2\pi}$	$\frac{L_R}{2\pi}$	$\sqrt{\frac{2 S_r}{\pi} }$	$\sqrt{ \frac{S_R}{\pi} }$
$L_r=\,$	$a\pi\,$	$\frac{d\pi \sqrt{2}}{2}$	$\pi\sqrt{S}$	$2\pi r\,$	$\pi R \sqrt{2}$	$L_r\,$	$\frac{L_R \sqrt{2}}{2}$	$2 \sqrt{\pi S_r}$	$\sqrt{2 \pi S_R}$
$L_R=\,$	$a\pi \sqrt{2}\,$	$d\pi\,$	$\pi\sqrt{2S}$	$2\pi r\sqrt{2}$	$2\pi R\,$	$L_r \sqrt{2}$	$L_R \,$	$2 \sqrt{2\pi S_r}$	$2\sqrt{\pi S_R}$
$S_r=\,$	$\frac{\pi a^2}{4}\,$	$\frac{\pi d^2}{8}$	$\frac{\pi S}{4}\,$	$\pi r^2\,$	$\frac{1}{2} \pi R^2\,$	$\frac{L_r^2}{4\pi}$	$\frac{L_R^2}{8\pi}$	$S_r\,$	$\frac{1}{2} S_R$
$S_R=\,$	$\frac{\pi a^2}{2}\,$	$\frac{\pi d^2}{4}$	$\frac{\pi S}{2}\,$	$2\pi r^2\,$	$\pi R^2\,$	$\frac{L_r^2}{2\pi}$	$\frac{L_R^2}{4\pi}$	$2S_r\,$	$S_R\,$