Pole powierzchni

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Pole powierzchni, czyli potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury, jest miarą, przyporządkowującą danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar. Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji:

[edytuj] Konstrukcja pojęcia pola

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach $a 1$ .
Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez $n 1$ .

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz to mniejszych bokach $a_1>a_2>a_3>\ldots$ , itd. uzyskujemy ciąg liczb $n 1, n 2,...$ .
Polem powierzchni nazywamy granicę:

$S=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^2$

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch nie nachodzących na siebie figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

{(x,y): 0<x<1, 0<y<1, x,y są wymierne}

oraz

{(x,y): 0<x<1, 0<y<1, x jest niewymierny lub y jest niewymierny}

mają obydwa pole powierzchni równe 1, mają pustą część wspólną, a ich suma (czyli wnętrze kwadratu) również ma pole równe 1.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dwóch rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie.

Zobacz więcej w osobnym artykule: Miara Lebesgue'a.

[edytuj] Definicja szkolna

Definicja używana w szkołach podstawowych i średnich.

Obieramy kwadrat o boku 1.
Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja ta tak naprawdę podaje tylko dolne oszacowanie pola powierzchni danej figury, którego dokładność zależy od kształtu figury.

[edytuj] Pole pod krzywą

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej

$S=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$

[edytuj] Pola typowych figur

Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi: S = absinα
- Prostokąt o bokach a i b: $S = a b$
- Kwadrat o boku a: $S = a 2$
Elipsa o półosiach a i b: S = πab
- Koło o promieniu r: $S = π r 2$
Wielokąt foremny: