Macierz dodatnio określona

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz jednostkowa macierz zerowa macierz elementarna macierz schodkowa macierz trójkątna macierz symetryczna macierz diagonalna macierz idempotentna macierz nilpotentna macierz hermitowska macierz unitarna macierz ortogonalna (!) macierz dopełnień algebraicznych (!) macierz dołączona więcej... Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy potęgowanie macierzy odwracanie macierzy diagonalizacja macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

W algebrze liniowej, macierzą dodatnio określoną nazywamy macierz A, która charakteryzuje się następującą właściwością:

1. W przypadku gdy A jest macierzą zespoloną :

A jest macierzą hermitowską i dla każdego niezerowego wektora zachodzi:

.

2. W przypadku gdy A jest macierzą rzeczywistą:

A jest macierzą symetryczną i dla każdego niezerowego wektora zachodzi:

.

Równoważna definicja mówi, że wszystkie wartości własne macierzy A są dodatnie.

[edytuj] Macierze ujemnie i nieujemnie określone

Jeśli dla macierzy hermitowskiej A i niezerowego wektora zachodzi:

, wówczas A jest macierzą nieujemnie określoną (półdodatnio określoną)

, wówczas A jest macierzą ujemnie określoną

[edytuj] Własności

Macierz dodatnio określona jest zawsze odwracalna i jej odwrotność jest również dodatnio określona. Jeśli A i B są dodatnio określone, to A + B jest dodatnio określona.

Dla macierzy dodatnio określonej i symetrycznej A istnieje odwracalna macierz M, taka że:

.

Czyli, że istnieje dla niej rozkład Choleskiego.