Wyznacznik

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
(!) macierz dopełnień algebraicznych
(!) macierz dołączona
więcej...

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
diagonalizacja macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Ten artykuł wymaga dopracowania.
Więcej informacji co należy poprawić, być może znajdziesz w dyskusji tego artykułu lub na odpowiedniej stronie. W pracy nad artykułem należy korzystać z zaleceń edycyjnych. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.
Możesz także przejrzeć pełną listę stron wymagających dopracowania.

Wyznacznik (ang. determinant) stopnia $n\$ macierzy kwadratowej $A\$ , oznaczany $\det (a_{ij})=\det A= |a_{ij}|= |A|\$ , to przekształcenie

$\det: M_{n \times n}(K) \to K$ .

zbioru macierzy $n \times n$ nad pierścieniem K w elementy K.

Przyjmijmy też, iż w całym artykule macierz $A \in M_{n \times n}(K)$ ma postać

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$ .

[edytuj] Definicja permutacyjna

Wyznacznik jest dany wzorem

$\det A=\sum_{\alpha \in \Pi} (-1)^k~a_{1\alpha(1)}\cdot a_{2\alpha(2)}\cdot ... \cdot a_{n\alpha(n)}$ ,

gdzie $Π$ oznacza zbiór wszystkich możliwych permutacji liczb $1, 2, \cdots, n$ , zaś $k$ oznacza liczbę inwersji w danej permutacji. Przykładowo składnik $a 13 a 21 a 34 a 42$ w wyznaczniku czwartego stopnia posiada ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

$\rho=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}$ ,

posiada trzy inwersje, mianowicie: $(3,1)$ , $(3,2)$ i $(4,2)$ , skąd $k = 3$ i $( - 1) 3 = - 1$ .

[edytuj] Definicja rekurencyjna

Wyznacznik można też obliczać, korzystając ze wzoru rekurencyjnego. Jest to jedna z jego właściwości pomocna przy wyznacznikach macierzy wyższych stopni, przez niektórych jednak wzór ten przyjmowany jest za definicję. Obie definicje są sobie równoważne i jeden wzór wynika z drugiego. Otóż:

$\det A=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} \cdot a_{1 j} \cdot \det [A]_{1 j}$ ,

gdzie $det[A] 1 j$ jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez wykreślenie pierwszego wiersza i $j$ -tej kolumny, który można wyliczyć z tego samego wzoru.

Warunkiem kończącym rekurencji jest przypadek elementarny dla macierzy rzędu pierwszego, gdy:

$\det A = \det [a] \in M_{1 \times 1}(K) \implies \det A=a$ .

[edytuj] Własności

Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika.
Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy zmienia znak wyznacznika, nie zmieniając jego wartości bezwzględnej.
Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne (np. są równe), wyznacznik ma wartość zero.
Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), wyznacznik ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn.
Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika.
Rozwinięcie Laplace'a — wyznacznik stopnia $n$ można rozłożyć według i-tego wiersza zgodnie ze wzorem

$d e t A = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ... + a i n A i n$

gdzie $A i j$ jest dopełnieniem algebraicznym elementu $a i j$ , czyli wyznacznikiem macierzy, powstałej po skreśleniu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny, pomnożonym przez $( - 1) j + i$ . Analogiczny wzór obowiązuje dla kolumn.
Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników: $\det(A \cdot B)=\det A \cdot \det B$ .
Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika: $det(A - 1) = (det A) - 1$ .
Zachodzi $\det(k \cdot A)=k^n \cdot \det A$ , gdzie $k$ jest dowolną liczbą, $n$ stopniem macierzy $A$ .

[edytuj] Obliczanie wyznaczników

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

$\det A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:

$\det A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}$

W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować twierdzenie Laplace'a. Przykład obliczenia wyznacznika czwartego stopnia znajduje się we wspomnianym artykule.

[edytuj] Zastosowanie wyznaczników

Wyznaczniki pojawiają się w wielu miejscach w matematyce, np. przy:

rozwiązywaniu układów równań liniowych,
odwracaniu macierzy,
obliczaniu objętości brył (np. czworościanu), a więc m.in. w analizie,
badaniu wielomianu Hurwitza (stabilność systemu),

i w wielu, wielu innych miejscach.

[edytuj] Dowody niektórych własności

Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:

pomnożenie kolumny przez $x$ , mnoży wyznacznik macierzy przez $x$
dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika

Ponieważ bardzo wiele operacji można zbudować z mnożeń przez stałą i dodawań kolumn (wierszy), możemy z tych dwóch właściwości wyprowadzić wiele innych własności.

W poniższych przykładach będziemy budować kolejno macierze $M 1$ , $M 2$ , $M 3$ itd., a przez $a i, b i, c i$ będziemy oznaczać pewne kolumny $i$ -tej macierzy. Wszystkie kolumny o których nic nie powiedziano są takie same jak w poprzedniej macierzy.

Odjęcie jednej kolumny od drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:

Zamieńmy znak w kolumnie $a$ :

$a 2 = - a 1$ .

$b 2 = b 1$

$d e t M 2 = - d e t M 1$
Dodajmy kolumnę $a$ do kolumny $b$ :

$a 3 = a 2 = - a 1$ .

$b 3 = b 2 + a 2 = b 1 - a 1$

$d e t M 3 = d e t M 2 = - d e t M 1$
Zamieńmy ponownie znak w kolumnie $a$ :

$a 4 = - a 3 = a 1$ .

$b 4 = b 3 = b 1 - a 1$

$d e t M 4 = - d e t M 3 = d e t M 1$

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny od drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:

Pomnóżmy kolumnę $a$ przez $x$ :

$a 2 = x a 1$ .

$b 2 = a 1$

$d e t M 2 = x d e t M 1$
Dodajmy kolumnę $a$ do kolumny $b$ :

$a 3 = a 2 = x a 1$ .

$b 3 = b 2 + a 2 = b 1 + x a 1$

$d e t M 3 = d e t M 2 = x d e t M 1$
Pomnóżmy kolumnę $a$ przez $\frac 1 x$ :

$a^4 = \frac 1 x a^3 = \frac 1 x x a^1 = a^1$ .

$b 4 = b 3 = b 1 + x a 1$

$det M^4 = \frac 1 x det M^3 = \frac 1 x x det M^1 = det M^1$

W powyższym przekładzie założyliśmy, że istnieje odwrotność $x$ , a zatem $x$ jest różne od 0. Jeśli $x$ jest równe 0, dodanie 0 razy kolumna to kolumna złożona z samych zer, a dodanie kolumny zer do innej kolumny nie zmienia macierzy, więc wyznacznik pozostaje ten sam.

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

Dodajmy kolumnę $a$ do kolumny $b$ :

$a 2 = a 1$ .

$b 2 = a 1 + b 1$

$d e t M 2 = d e t M 1$
Zamieńmy znak w kolumnie $a$ :

$a 3 = - a 2 = - a 1$ .

$b 3 = b 2 = a 1 + b 1$

$d e t M 3 = - d e t M 2 = - d e t M 1$
Dodajmy kolumnę $b$ do kolumny $a$ :

$a 4 = a 3 + b 3 = - a 1 + a 1 + b 1 = b 1$ .

$b 4 = b 3 = a 1 + b 1$

$d e t M 4 = d e t M 3 = - d e t M 1$
Zamieńmy znak w kolumnie $b$ :

$a 5 = a 4 = b 1$ .

$b 5 = - b 4 = - a 1 - b 1$

$d e t M 5 = - d e t M 4 = d e t M 1$
Dodajmy kolumnę $a$ do kolumny $b$ :

$a 6 = a 5 = b 1$ .

$b 6 = a 5 + b 5 = b 1 - a 1 - b 1 = - a 1$

$d e t M 6 = d e t M 5 = d e t M 1$
Zamieńmy znak w kolumnie $b$ :

$a 7 = a 6 = b 1$ .

$b 7 = - b 6 = a 1$

$d e t M 7 = - d e t M 6 = - d e t M 1$

Po tej serii operacji (którą można uprościć korzystając z udowodnionej wyżej własności, że odejmowanie kolumn nie zmienia wyznacznika), wartości w kolumnach $a$ i $b$ zamieniły się miejscami, a wyznacznik zmienił znak.

Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.