Ковариантная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике, ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Ковариантную производную можно также определить как специальный способ задания связности на многообразии при помощи дифференциального оператора. Другой способ задания связности — через форму связности, здесть не рассматривается.

Содержание

1 Формальное определение
2 Ковариантная производная по направлению
3 Выражение в координатах
- 3.1 Примеры для некоторых типов тензорных полей
4 См. также

[править] Формальное определение

Ковариантная производная $\nabla_c$ - это оператор, который отображает дифференцируемые тензорные поля типа (p,q) в множество тензорных полей типа (p,q+1) и обладает следующими свойствами ( $A, B$ - произвольные тензорные поля типа (p,q), $α$ и $β$ - произвольные вещественные числа):

Линейность: $\nabla_c(\alpha\mathit{A} + \beta\mathit{B}) = \alpha\nabla_c(\mathit{A}) + \beta\nabla_c(\mathit{B})$ .
Правило Лейбница: $\nabla_c(\mathit{A} \otimes \mathit{B}) = \nabla_c(\mathit{A})\otimes\mathit{B} + \mathit{A}\otimes\nabla_c(\mathit{B})$ .
Коммутативность относительно свёртки по двум индексам: $\nabla_c ({A^{a_1...i...a_p}}_{b_1...i...b_q}) = \nabla_c {A^{a_1...i...a_p}}_{b_1...i...b_q}$ .
Согласованность с определением касательных векторов как операторов производных по направлению, действующих в пространстве скалярных функций: для любой скалярной функции $f$ и вектора $\mathbf{v}=v^a$ : $\mathbf{v}f = v^a \nabla_a f$ .
Отсутствие кручения: для любой функции $f$ , $\nabla_a \nabla_b f = \nabla_b \nabla_a f$ .

Пятое условие иногда опускается, в этом случае многообразие оказывается многообразием с кручением. В общей теории относительности оператор ковариантной производной не имеет кручения. В общем случае для тензоров ковариантные производные не коммутируют. Степень некоммутативности ковариантных производных тензорных полей выражается через тензор кривизны многообразия.

[править] Ковариантная производная по направлению

Ковариантную производную можно ещё определить как оператор ${\nabla}_\mathbf{v}$ (зависящий от векторного поля $\mathbf{v}$ ), который сопоставляет каждому дифференцируемому тензорному полю тензорное поле того же типа, и подчиняется определенным требованиям, обобщающим свойства обычной производной по направлению. В терминах предыдущего определения, если $\mathbf{v}=v^a$ — векторное поле, а $A$ — тензорное поле, то

${\nabla}_\mathbf{v}A = v^a \nabla_a A$ .

[править] Функции

Для скалярной функции $f$ ковариантная производная ${\nabla}_{\mathbf{v}} f$ совпадает с обычной производной действительной функции по направлению векторного поля $\mathbf{v}$ и обозначается $\partial_{\mathbf{v}} f$ .

[править] Векторные поля

Ковариантная производная $\nabla$ векторного поля ${\mathbf u}$ по направлению векторного поля ${\mathbf v}$ , обознаяаемая $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ определяется по следующим свойствам, для любого вектора v, векторных полей u, w и скалярных функций f и g:

$\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ линейно по отношению к ${\mathbf v}$ , т.е. $\nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}$
$\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ аддитивно относительно ${\mathbf u}$ , т.е. $\nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}$
$\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ подчиняется правилу Лейбница, т.е. $\nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f$ где $\nabla_{\mathbf v}f$ определено выше.

Заметим, что $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ в точке p зависит не только от значения v в точке p, но и от значений u в ее окрестности благодаря последнему свойству, правилу Лейбница. Это означает, что ковариантная производная не является тензором.

[править] Ко-векторные поля

Если задано поле ко-векторов (или 1-форм) $α$ , его ковариантная производная $\nabla_{\mathbf v}\alpha$ может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей u

$\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).$

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля v — тоже ковекторное поле.

[править] Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница ( $\varphi$ и $ψ$ - произвольные тензоры):

$\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),$

Если $\varphi$ и $ψ$ - тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

$\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.$

[править] Выражение в координатах

Пусть тензорное поле типа (p, q) задано своими компонентами ${T^{i_1 i_2...i_p}}_{j_1 j_2 ... j_q}(\mathbf{x})$ в некоторой локальной системе координат $x k$ , причем компоненты - дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа (p,q+1), который определяется по формуле:

$\nabla_\ell{T^{i_1 i_2...i_p}}_{j_1 j_2 ... j_q} = \frac{\partial {T^{i_1 i_2...i_p}}_{j_1 j_2 ... j_q}}{\partial x^\ell} + \sum_{k=1}^p {T^{i_1 ... k ...i_p}}_{j_1 j_2 ... j_q} \Gamma^{i_k} {}_{\ell k} - \sum_{m=1}^q {T^{i_1 i_2 ... i_p}}_{j_1 ...m... j_q} \Gamma^{m} {}_{\ell j_m}$

где $Γ k i j$ - символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.

[править] Примеры для некоторых типов тензорных полей

Ковариантная производная векторного поля $V^m\$ имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

$\nabla_\ell V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^\ell} + \Gamma^m {}_{k\ell} V^k.\$

Ковариантная производная скалярного поля $\varphi\$ совпадает с частной производной,

$\nabla_i \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}\$

а ковариантная производная ковекторного поля $\omega_m\$ -

$\nabla_\ell \omega_m = \frac{\partial \omega_m}{\partial x^\ell} - \Gamma^k {}_{\ell m} \omega_k.\$

В пространстве без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

$\nabla_i\nabla_j \varphi = \nabla_j\nabla_i \varphi\$

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Ковариантная производная тензорного поля типа (2,0) $A^{ik}\$ равна

$\nabla_\ell A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^\ell} + \Gamma^i {}_{m\ell} A^{mk} + \Gamma^k {}_{m\ell} A^{im}, \$

то есть,

$A^{ik} {}_{;\ell} = A^{ik} {}_{,\ell} + A^{mk} \Gamma^i {}_{m\ell} + A^{im} \Gamma^k {}_{m\ell}. \$

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

$A^i {}_{k;\ell} = A^i {}_{k,\ell} + A^{m} {}_k \Gamma^i {}_{m\ell} - A^i {}_m \Gamma^m {}_{k\ell}, \$

наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа (0,2),

$A_{ik;\ell} = A_{ik,\ell} - A_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - A_{im} \Gamma^m {}_{k\ell}. \$

[править] См. также

Категории: Дифференциальная геометрия и топология | Риманова геометрия