Общая теория относительности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

О́бщая тео́рия относи́тельности (ОТО) — физическая теория пространства-времени и тяготения, основана на экспериментальном принципе эквивалентности гравитационной и инерционной масс и предположении о линейности связи между массой и вызываемыми ею гравитационными эффектами.

В рамках этой теории, являющейся дальнейшим развитием специальной теории относительности, постулируется, что гравитационные эффекты вызываются не силовым взаимодействием тел и полей, находящихся в пространстве-времени, а являются проявлениями деформаций самого пространства-времени, вызываемых локальным присутствием массы-энергии. Таким образом, в ОТО, как и в других метрических теориях, гравитация — не силовое взаимодействие.

Содержание

1 Основные принципы общей теории относительности без математики
2 Историческое введение в ОТО
3 Математическое введение в ОТО
4 Рекомендуемая литература
5 См. также
6 Ссылки

[править] Основные принципы общей теории относительности без математики

[править] Необходимость релятивистской теории гравитации

Теория гравитации Ньютона основана на понятии силы тяготения, которая является дальнодействующей силой — она действует мгновенно на любом расстоянии. Этот мгновенный характер действия несовместим с полевой парадигмой современной физики, и, в частности, со специальной теорией относительности, выведенной Эйнштейном, Пуанкаре и Лоренцом в 1905 году. Действительно, в этой теории никакая информация не может распространиться быстрее скорости света в вакууме.

Математически сила гравитации Ньютона выводится из потенциальной энергии тела в гравитационном поле. Потенциал гравитации, соответствующий этой потенциальной энергии, подчиняется уравнению Пуассона, которое не инвариантно при преобразованиях Лоренца. Причина неинвариантности лежит в том, что энергия в специальной теории относительности уже не является скалярной величиной, а переходит во временну́ю компоненту 4-вектора. Векторная же теория гравитации оказывается вполне аналогичной теории электромагнитного поля Максвелла и приводит к отрицательной энергии гравитационных волн, что связано с характером взаимодействия: одноимённые заряды — массы — в гравитации притягиваются, а не отталкиваются, как в электромагнетизме (см. Мизнер, Торн, Уилер. «Гравитация», т. 1, с. 227—228). Таким образом, теория гравитации Ньютона несовместима с фундаментальным принципом специальной теорией относительности — инвариантностью законов природы в любой инерциальной системе отсчёта, а прямое векторное обобщение теории Ньютона, впервые предложенное Пуанкаре в 1905 в его работе «О динамике электрона», приводит к физически неудовлетворительным результатам.

С принципом инвариантности законов природы, универсальный характер которого был предположен Эйнштейном, этот учёный предпринял «поход за святым Граалем» — теорией гравитации, которая бы была совместима с ним. Результатом этого поиска явилась общая теория относительности, основанная на принципе тождественности гравитационной и инертной массы.

[править] Принцип равенства гравитационной и инертной масс

В классической механике Ньютона существует два понятия массы: первое относится ко второму закону Ньютона, а второе — к закону всемирного тяготения. Первая масса — инертная (или инерционная) — есть отношение негравитационной силы, действующей на тело, к его ускорению. Вторая масса — гравитационная (или, как её иногда называют, тяжёлая) — определяет силу притяжения тела другими телами и его собственную силу притяжения. Вообще говоря, эти две массы измеряются, как видно из описания, в различных экспериментах, поэтому совершенно не обязаны быть пропорциональными друг другу. Их строгая пропорциональность позволяет говорить о единой массе тела как в негравитационных, так и в гравитационных взаимодействиях. Подходящим выбором единиц можно сделать эти массы равными друг другу.

Сам принцип был выдвинут ещё Исааком Ньютоном, а равенство масс было проверено им экспериментально с относительной точностью 10^-3. В конце XIX века более тонкие эксперименты провёл Этвеш, доведя точность проверки принципа до 10^-9. В течение XX века экспериментальная техника позволила подтвердить равенство масс с относительной точностью 10^-12 — 10^-13 (Брагинский, Дикке и т. д.).

Иногда принцип равенства гравитационной и инертной масс называют слабым принципом эквивалентности. Альберт Эйнштейн положил его в основу общей теории относительности.

[править] Принцип движения по геодезическим линиям

Если гравитационная масса точно равна инерционной, то в выражении для ускорения тела, на которое действуют лишь гравитационные силы, обе массы сокращаются. Поэтому ускорение тела, а, следовательно, и его траектория не зависит от массы и внутреннего строения тела. Если же все тела в одной и той же точке пространства получают одинаковое ускорение, то это ускорение можно связать не со свойствами тел, а со свойствами самого пространства в этой точке.

Таким образом описание гравитационного взаимодействия между телами можно свести к описанию пространства-времени, в котором двигаются тела. Естественно предположить, как это и сделал Эйнштейн, что тела двигаются по кратчайшим (в некотором смысле) траекториям — геодезическим линиям. Теория геодезических линий была разработана математиками ранее, ещё в XIX веке.

Сами геодезические линии можно найти, если задать в пространстве-времени расстояние между двумя событиями, называемое по традиции интервалом или мировой функцией. Интервал задаётся 10 величинами, составляющими так называемый метрический тензор или метрику. Она определяет расстояние между двумя бесконечно близкими точками пространства-времени в различных направлениях. Геодезические линии при этом оказываются линиями наибольшего собственного времени, т. е. времени, измеряемого часами, жёстко скреплёнными с телом, следующим по этой траектории.

Современные эксперименты подтверждают движение тел по геодезическим линиям с той же точностью, как и равенство гравитационной и инертной масс.

[править] Кривизна пространства-времени

Девиация геодезических

Если запустить из двух близких точек два тела параллельно друг другу, то в гравитационном поле они постепенно начнут либо сближаться, либо удаляться друг от друга. Этот эффект называется девиацией геодезических. Аналогичный эффект можно наблюдать непосредственно, если запустить два шарика параллельно друг другу по резиновой мембране, на которую в центр положен массивный предмет. Шарики разойдутся: тот, который был ближе к предмету, продавливающему мембрану, будет стремиться к центру сильнее, чем более удалённый шарик. Это расхождение (девиация) вызывается кривизной мембраны.

Подобно описанному примеру, в пространстве-времени девиация геодезических — расхождение траекторий тел — вызывается его кривизной. Кривизна пространства-времени однозначно определяется его метрикой — метрическим тензором. Различие между общей теорией относительности и альтернативными теориями гравитации определяется в большинстве случаев именно в способе связи между материей — телами, создающими гравитационное поле — и метрическими свойствами пространства-времени.

[править] Пространство-время ОТО и сильный принцип эквивалентности

Часто неправильно считают, что в основе общей теории относительности лежит принцип эквивалентности гравитационного и инерционного поля, который обычно формулируют так:

«Достаточно малая по размерам физическая система, находящаяся в гравитационном поле, по поведению неотличима от такой же системы, находящейся в ускоренной (относительно инерциальной системы отсчёта) системе отсчёта, погружённой в плоское пространство-время специальной теории относительности».

Иногда тот же принцип постулируют как «локальную справедливость специальной теории относительности» или называют «сильным принципом эквивалентности».

Исторически этот принцип действительно сыграл большую роль в становлении общей теории относительности и использовался Эйнштейном при её разработке. Однако в самой окончательной форме теории он на самом деле не содержится, так как пространство-время как в ускоренной, так и в исходной системе отсчёта в специальной теории относительности является неискривленным — плоским, а в общей теории относительности оно искривляется любым телом и именно его искривление вызывает гравитационное притяжение тел. Подробнее об этом можно почитать в книге Синга «Общая теория относительности» (1963) или Фока «Теория пространства, времени и тяготения» (1955).

Ещё раз подчеркнём: основным отличием пространства-времени общей теории относительности от пространства-времени специальной теории относительности является его искривление, кривизна, которая выражается тензорной величиной — тензором кривизны. В пространстве-времени специальной теории относительности этот тензор тождественно равен нулю и пространство-время является плоским.

Аналогичным образом не совсем корректным является и название «общая теория относительности». Она является лишь одной из множества теорий гравитации, рассматриваемых физиками сейчас, в то время как специальная теория относительности является практически общепринятой научным сообществом и составляет краеугольный камень базиса современной физики.

[править] Уравнения Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна связывают между собой свойства материи, заполняющей искривлённое пространство-время, с его кривизной. При этом они являются простейшими и наиболее линейными среди всех мыслимых уравнений такого рода. Выглядят они следующим образом:

$R_{ab} - {R \over 2} g_{ab} + \Lambda g_{ab} = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}$

где $R a b$ — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени $R a b c d$ посредством свёртки его по паре индексов, $R$ — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, $g a b$ — метрический тензор, $Λ$ — космологическая постоянная, а $T a b$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, ( $π$ — число пи, $c$ — скорость света в вакууме, $G$ — гравитационная постоянная Ньютона).

Эти уравнения наиболее просты в том смысле, что кривизна и энергия-импульс в них входит лишь линейно, а кроме того, в левой части стоят все тензорные величины валентности 2, которые могут характеризовать пространство-время.

Некоторое время дискутировался вопрос о наличии в этих уравнениях третьего члена в левой части — о равенстве космологической постоянной нулю. Данные современной количественной космологии говорят в пользу модели Вселенной, расширяющейся с ускорением, то есть с положительной космологической постоянной, не равной нулю. Тем не менее, величина этой постоянной настолько мала, что позволяет её не учитывать в любых физических расчётах, кроме связанных с астрофизикой в масштабах скоплений галактик и выше.

Существенным моментом является то, что уравнения Эйнштейна нелинейны и сумма их решений не является новым решением. Это связано с тем, что кривизна нелинейно зависит от метрических коэффициентов (см. определение тензора кривизны). Приближённо линейность существует лишь для слабых гравитационных полей, когда отклонения метрических коэффициентов от их значений для плоского пространства-времени малы, и так же мала кривизна.

Дополнительное обстоятельство, затрудняющее решение этих уравнений — их самосогласованность. Уравнения Эйнштейна связывают изменения метрических коэффициентов пространства-времени, то есть его искривление, с содержащейся в нем материей, но материя в свою очередь должна двигаться в искривлённом пространстве. Получаем замкнутый круг: материя в своём движении искривляет пространство, которое заставляет в свою очередь материю двигаться определённым образом, из-за чего материя по-другому искривляет пространство, которое опять корректирует движение материи, и так далее до бесконечности. Поэтому поиск решений превращается в игру в рулетку: задавшись определённым исходным состоянием материи, мы рискуем обнаружить, что она не может находиться в таком состоянии, когда решим уравнения Эйнштейна. Именно поэтому такое значение придаётся известным точным решениям этих уравнений.

[править] Основные следствия ОТО

Согласно с принципом соответствия в слабых гравитационных полях предсказания общей теории относительности воспроизводят результаты применения Ньютоновского закона всемирного тяготения с небольшими поправками, которые растут по мере увеличения напряжённости поля.

Первыми предсказанными и проверенными экспериментальными следствиями общей теории относительности стали три классических эффекта, перечисленных ниже в хронологическом порядке их первой проверки:

Дополнительный сдвиг перигелия орбиты Меркурия по сравнению с предсказаниями по механике Ньютона.
Отклонение светового луча в гравитационном поле Солнца.
Гравитационное красное смещение или, что то же самое, замедление времени в гравитационном поле.

Кроме них, существует множество эффектов, поддающихся экспериментальной проверке. Среди них можно упомянуть отклонение и запаздывание (эффект Шапиро) электромагнитных волн в гравитационном поле Солнца и Юпитера, эффект Лензе-Тирринга (прецессия гироскопа вблизи вращающегося тела), астрофизические доказательства существования чёрных дыр, доказательства излучения гравитационных волн тесными системами двойных звёзд и расширение Вселенной.

До сих пор надёжных экспериментальных свидетельств, опровергающих общую теорию относительности, не обнаружено. Отклонения измеренных величин эффектов от предсказываемых ОТО не превышают 0,1 % (для указанных выше трёх классических явлений). Тем не менее, в связи с различными причинами теоретиками было разработано не менее 30 альтернативных теорий гравитации, причём некоторые из них позволяют получить сколь угодно близкие к ОТО результаты при соответствующих значениях входящих в теорию параметров.

[править] Проблемы ОТО

[править] Проблема энергии

См. также псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля, вектор Киллинга, энергия.

Так как энергия, с точки зрения математической физики, представляет собой величину, сохраняющуюся из-за однородности времени, а в общей теории относительности, в отличие от специальной, вообще говоря, время неоднородно, то закон сохранения энергии может быть выражен в ОТО только локально, то есть в ОТО не существует такой величины, эквивалентной энергии в СТО, чтобы интеграл от неё по пространству сохранялся при движении по времени.

Многие физики считают это существенным недостатком ОТО. С другой стороны, очевидно, что если соблюдать последовательность до конца, в полную энергию кроме энергии материи необходимо включать также и энергию самого гравитационного поля. А последняя не может быть хорошо определена (как тензор), что является ещё одним аспектом проблемы.

Существует необщепринятая точка зрения, которая определяет тензор энергии-импульса гравитационного поля как тензор Эйнштейна с точностью до постоянного множителя. Тогда уравнения Эйнштейна утверждают, что энергия-импульс гравитационного поля в любом объёме точно уравновешивает энергию-импульс материи в этом объёме, так что полная их сумма всегда тождественно равна нулю.

[править] ОТО и квантовая физика

Главной проблемой ОТО с современной точки зрения является невозможность построения для неё квантово-полевой модели каноническим образом.

Каноническое квантование любой физической модели состоит в том, что в неквантовой модели строится уравнения Лагранжа-Эйлера и определяется лагранжиан системы, из которого выделяется гамильтониан H. Затем гамильтониан переводят из обычной функции динамических переменных системы в операторную функцию соответствующих динамическим переменным операторов — квантуют. При этом физический смысл оператора Гамильтона состоит в том, что его собственные значения представляют собой уровни энергии системы. Ключевая особенность описанной процедуры состоит в том, что она предполагает выделение параметра — времени, по которому и составляется в дальнейшем уравнение типа Шрёдингера

$H \Phi = i h {\partial \over \partial t} \Phi$ , здесь H — уже оператор Гамильтона,

которое далее решается для отыскания волновой функции $Φ$ .

Сложности в реализации такой программы для ОТО троякие: во-первых, переход от классического гамильтониана к квантовому неоднозначен, так как операторы динамических переменных не коммутируют между собой; во-вторых, гравитационное поле относится к типу полей со связями, для которых структура уже классического фазового пространства достаточно сложна, а квантование их наиболее прямым методом невозможно; в-третьих, в ОТО нет выраженного направления времени, что составляет трудность при его необходимом выделении и порождает проблему интерпретации полученного решения.

Тем не менее, программа квантования гравитационного поля была успешно решена к 50-м гг. XX ст. усилиями М. П. Бронштейна, П. А. М. Дирака, Брайса ДеВитта и других физиков. Оказалось, что (по крайней мере слабое) гравитационное поле можно рассматривать как квантовое безмассовое поле спина 2.

Дополнительные сложности возникли при попытке вторичного квантования системы гравитационного поля, проведённой Р. Фейнманом и другими физиками в 60-х гг. после разработки квантовой электродинамики. Оказалось, что поле такого высокого спина в трёхмерном пространстве не перенормируемо никакими традиционными (и даже нетрадиционными) способами. Более того, не существует никакого разумного определения его энергии, такого, чтобы выполнялся закон сохранения энергии, она была бы локализуема и неотрицательна в любой точке.

Полученный тогда результат остаётся незыблемым до настоящего времени. Появляющиеся в каждом новом порядке по количеству петель расходимости квантовой гравитации невозможно сократить введением в гамильтониан никакого конечного количества перенормировочных контрчленов или свести перенормировку к конечному числу постоянных величин (как это удалось сделать в квантовой электродинамике по отношению к элементарному электрическому заряду и массе заряженной частицы).

На сегодняшний день построено много альтернативных ОТО теорий (теория струн, теория маджетик, мембран, модель квантования в 2-мерном пространстве и др.), которые позволяют квантовать гравитацию, но все они либо незакончены, либо имеют внутри себя неразрешенные парадоксы. Также подавляющее большинство из них обладает огромным недостатком, который вообще не дает возможности говорить о них, как о «физических теориях» — они не могут быть проверены экспериментально.

[править] Историческое введение в ОТО

to do

[править] Математическое введение в ОТО

to do

[править] Моделирование пространства-времени

Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и "непрерывным", то есть «без дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием. ^[1] 4 измерений $M 4$ , то есть пространство размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство.

[править] Геометрия пространства-времени

NB Эта статья следует классическим соглашениям знака MTW ' ' ^[2]

В этой статье принимается также соглашение Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам.

[править] Метрический тензор

Дифференцируемое многообразие ^[3] "M" снабжённое одним лоренцовым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцово многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение "лоренцов" будет уточнено дальше в тексте; см. Лоренцова метрика).

Давайте возьмем какую-нибудь систему координат $x μ$ около точки $P$ , и пусть ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ - локальный базис $T x M$ в касательном пространстве к многообразию $M$ в точке $x\in M$ . Касательный вектор $\mathbf w \in T_xM$ запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:

$\mathbf{w} \ = \ w^{\mu} \ \mathbf{e}_{\mu}.$

При этом $w μ$ называются "контравариантными" компонентами вектора w. Метрический тензор $\mathbf g$ тогда - симметричная билинейная форма:

$\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},$

где $d x μ$ обозначают "дуальный базис" ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ в кокасательном пространстве $T_x^*M$ , то есть такие линейные формы на $T x M$ , что:

$dx^{\nu} ({\mathbf e}_{mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}.$

Компоненты $g μν (x)$ метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно^[4].

Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:

$g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}.$

Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 - 4)/2 = 6 не-диагональных элементов. Тензор $g μν$ обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.

[править] Скалярное произведение

Метрический тензор определяет для каждой точки $x \in M$ многообразия псевдо-скалярное произведение ("псевдо-" в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к "M" в точке $x$ псевдоэвклидовом пространстве $T x M$ . Если $\mathbf u$ и $\mathbf v$ - два вектора $T x M$ , их скалярное произведение запишется как:

$\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu} \ v^{\nu}$

В частности, беря два базовых вектора, получаем компоненты:

$g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \cdot {\mathbf e}_{\nu}$

Замечание: если $w μ$ обозначают контравариантные компоненты вектора w, то мы можем определить также его ковариантные компоненты как:

$w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.$

[править] Элементарное расстояние - интервал

Рассмотрим вектор элементарного перемещения $d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}$ между точкой "P" и бесконечно близкой точкой: $| \epsilon^{\mu} | \ll 1$ . Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое $d s 2$ , наываемое квадратом интервала, и равное:

$ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \ \epsilon^{\nu}$ .

Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» $ε μ = d x μ$ , инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:

$ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}$

Внимание: в этой формуле $d x μ$ представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как "инфинитезимальное изменение" координаты $x μ$ , а не как дифференциальная форма!

[править] Лоренцева метрика

Давайте уточним теперь выражение "Лоренцов", которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3). Принцип эквивалентности обеспечивает нам уверенность, что можем "стереть" локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.

В такой локально инерциальной системе координат $X α$ вокруг точки $P$ , инвариант $d s 2$ запишется как:

$ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta}) \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta} \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,$

где $η αβ$ является метрикой плоского пространства-времени Минковского, а $δ αβ$ имеет второй порядок малости по координатам $X α$ . Принимая здесь соглашение знаков MTW ^[2]:

$\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -, \, +, \, +, \, + \, )$

Мы используем здесь следующие обычные соглашения:

греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.

Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:

$X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matrix} \right)$

Лоренцов характер многообразия "M" обеспечивает, таким образом, то, что касательные к "M" в каждой точке псевдоевклидовы пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями ("псевдо" в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующем времени). В частности, элементарный интервал "собственного времени", отделяющий два последовательных события, всегда:

$d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0.$

[править] Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной

Обобщенно, аффинной связностью называется оператор $\nabla$ , который приводит в соответствие векторному полю $\mathbf V$ из касательного пучка $T M$ поле эндоморфизмов $\nabla \mathbf V$ этого пучка. Если ${\mathbf w} \in T_xM$ - касательный вектор в точке $x \in M$ , обычно обозначают

$\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).$

Говорят, что $\nabla_{\mathbf w} \mathbf V$ является "ковариантной производной " вектора $\mathbf V$ в направлении ${\mathbf w}$ . Предположим к тому же, чтобы $\nabla \mathbf V$ удовлетворяло дополнительному условию: для любой функции "f" справедливо следующее:

$\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V$

Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:

линейность по "w", то есть, какими бы ни были поля векторов " w " и "u" и действительные числа "a" и "b", мы имеем:

$\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.$

линейность по "V", то есть, какими бы ни были поля векторов " X" и действительные числа "a" и "b", мы имеем:

$\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.$

Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если $\mathbf T$ и $\mathbf S$ - два любых тензора, то по определению:

$\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\mathbf w} \mathbf S)$

Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.

[править] Связность, ассоциированная с метрикой

Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой - связность Леви-Чивита [1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов "X, Y, Z" из "TM":

$\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g(\mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)$ (метричность - тензор неметричности равен нулю).

$\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]$ , где $[\mathbf X,\mathbf Y]$ - коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения - тензор кручения равен нулю).

[править] Описание в координатах

Ковариантная производная вектора есть "вектор", и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:

$\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_\rho,$

где $Γ ρ$ представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении $\mathbf e_\rho$ (эта составляющая зависит от выбранного вектора w)

Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов $\mathbf e_\nu$ вдоль направления $\mathbf e_\mu$ . Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) $Γ ρ μν,$ зависящие от 3 индексов ^[5]

$\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu}} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho$

Связность Леви-Чивита полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле

$\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V$

для вектора V:

$\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu.$

Зная, что $dV \nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu$ , получаем:

$\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\nu \ \mathbf e_\nu$

Первый член этой формулы описывает "деформацию" системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй - изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме

$\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \right] \ \mathbf e_\nu$

Из этого получаем важную формулу для компонент:

$\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho}$

Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:

$\nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho} \ V_{\rho}.$

Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:

$\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0.$

Расчёт этой ковариантной производной приводит к:

$\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right),$

где $g^{\mu \nu}\$ - компоненты "обратного" метрического тензора, определенные уравнениями:

$g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho$

Символы Кристоффеля "симметричны" по отношению к нижним индексам: $\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\$

Замечание: иногда определяются также следующие символы:

$\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)$

получаемые как:

$\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}$

[править] Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана R - тензор 4-ой валентности, определёный для любых векторных полей X, Y, Z из M как

$\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \, (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z$

Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:

$R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \sigma } \right) \ + \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {}_{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)$

Симметрии этого тензора:

$R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\$

$R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }$

Он удовлетворяет также следующему соотношению:

$R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0.$

[править] Тензор кривизны Риччи

Тензор Риччи - тензор валентности 2, определенный "свёрткой" тензора кривизны Римана

$R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma} \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu}$

Его компоненты в явном виде через метрический тензор:

$R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \rho} \ + \ \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \Gamma^{\sigma} {}_{\rho \sigma} \ - \ \Gamma^{\sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma}$

Этот тензор "симметричен": $R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \$ .

[править] Скалярная кривизна

Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой

$R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}$

[править] Уравнения Эйнштейна

Уравнения гравитационного поля, которое называются уравнениями Эйнштейна, записываются так

$R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ - \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu},$

где $Λ$ - космологическая константа, $c$ - скорость света в пустоте, $G$ - гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, а $T μν$ - тензор энергии-импульса.

Симметричный тензор $g μν$ имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна эквивалентно системе 10 независимых скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев "очень трудна" для изучения.

[править] Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной "симметричной" матрицы 4x4:

$T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right).$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

T₀₀ - объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
T₁₀, T₂₀, T₃₀ - плотности компонент импульса.
T₀₁, T₀₂, T₀₃ - компоненты потока энергии.
Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:

$T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)$

- матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют "давлению", а прочие составляющие - тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии - натяжениям), вызванным "вязкостью.

Для жидкого тела "в покое", тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице "diag (ρc^2, p, p, p)", где "ρ" есть плотность массы, а p - гидростатическое давление.

[править] Рекомендуемая литература

Синг Дж. Л. Общая теория относительности. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963, 432 с.
Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3 тт. — М.: Мир, 1977.
Wald Robert M. General Relativity. — Chicago: The University of Chicago Press, 1984, 491 с.
Герман Вейль. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности. — М.: Изд-во УРСС научной и учебной литературы, 2004, 455 с.
Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. — М.: ГИТТЛ, 1955, 504 с.

[править] См. также

Гравитационные волны
Золотой век теории относительности
Альтернативные теории гравитации
Специальная теория относительности
Чёрная дыра
PSR J0737-3039 — проверка предсказаний ОТО в тесном двойном пульсаре
Gravity Probe B — проверка предсказанной ОТО прецессии гироскопов на околоземной орбите

[править] Ссылки

Общая и специальная теория относительности на сайте "Мир математических уравнений" EqWorld.
Раздел по теории относительности на сайте "Вся Физика".
www.relativity.ru — теория относительности на русском языке: грамотные статьи, вопросы-ответы, анимации.
Вопросы и ответы по общей теории относительности.
LIVING REVIEWS in Relativity (англ.) — рецензируемый научный журнал регулярно обновляемых обзоров по теории относительности. Издаётся Институтом гравитационной физики имени Макса Планка (Институт Альберта Эйнштейна).
Обзор по экспериментальной проверке теории относительности из LIVING REVIEWS in Relativity (англ.). Версия данного обзора с данными на октябрь 2005 года находится здесь.
Обзор по тестам Лоренц-инвариантности СТО и ОТО из LIVING REVIEWS in Relativity (англ.).

Разделы физики
Механика \| Специальная теория относительности \| Общая теория относительности \| Молекулярная физика \| Термодинамика \| Статистическая физика \| Физическая кинетика \| Электродинамика \| Оптика \| Акустика \| Физика плазмы \| Физика конденсированных сред \| Атомная физика \| Квантовая физика \| Квантовая механика \| Квантовая теория поля \| Ядерная физика \| Физика элементарных частиц \| Теории «Великого объединения» \| Теория колебаний \| Теория волн \| Нелинейная динамика \| Метрология \| Астрофизика \| Геофизика \| Биофизика

Разделы физики

Категория: Общая теория относительности

Общая теория относительности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Основные принципы общей теории относительности без математики

[править] Необходимость релятивистской теории гравитации

[править] Принцип равенства гравитационной и инертной масс

[править] Принцип движения по геодезическим линиям

[править] Кривизна пространства-времени

[править] Пространство-время ОТО и сильный принцип эквивалентности

[править] Уравнения Эйнштейна

[править] Основные следствия ОТО

[править] Проблемы ОТО

[править] Проблема энергии

[править] ОТО и квантовая физика

[править] Историческое введение в ОТО

[править] Математическое введение в ОТО

[править] Моделирование пространства-времени

[править] Геометрия пространства-времени

[править] Метрический тензор

[править] Скалярное произведение

[править] Элементарное расстояние - интервал

[править] Лоренцева метрика

[править] Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной

[править] Связность, ассоциированная с метрикой

[править] Описание в координатах

[править] Тензор кривизны Римана

[править] Тензор кривизны Риччи

[править] Скалярная кривизна

[править] Уравнения Эйнштейна

[править] Тензор энергии-импульса

[править] Рекомендуемая литература

[править] См. также

[править] Ссылки

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках