Мартингал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мартинга́л в теории случайных процессов — это случайный процесс, такой что наилучшим в смысле среднеквадратичного предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Содержание

1 Мартингалы с дискретным временем
2 Мартингалы с непрерывным временем
3 Суб(супер)мартингалы
4 Свойства
5 Пример

[править] Мартингалы с дискретным временем

Последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если

$\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N}$ ;
$\mathsf{E}[X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}$ .

Пусть дана другая последовательность случайных величин $\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ . Тогда последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ называется мартингалом относительно $\{Y_n\}\,\!$ или $\{Y_n\}\,\!$ -мартингалом, если

$\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N}$ ;
$\mathsf{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}$ .

[править] Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ с заданной на нём фильтрацией $\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}$ , где $T \subset \mathbb{R}$ . Тогда случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$ называется мартингалом относительно $\{\mathcal{F}_t\}$ , если

$X_t\,$ измерима относительно $\mathcal{F}_t$ для любого $t \in T$ .
$\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T$ .
$\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t$ .

Если в качестве $\{\mathcal{F}_t\}$ взята естественная фильтрация $\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}$ , то $\{X_t\}\,\!$ называют просто мартингалом.

[править] Суб(супер)мартингалы

Пусть дана последовательность случайных величин $\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ . Тогда последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ называется су́б(су́пер)мартингалом относительно $\{Y_n\}\,\!$ , если

$\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N};$
$\mathsf{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] \ge(\le) X_n, \quad n \in \mathbb{N}.$

Случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T},\; T \subset \mathbb{R}$ называется суб(супер)мартингалом относительно $\{\mathcal{F}_t\}$ , если

$X_t\,\!$ измерима относительно $\mathcal{F}_t$ для любого $t \in T$ .
$\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T$ .
$\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \ge(\le) X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t$ .

Если в качестве $\{\mathcal{F}_t\}$ взята естественная фильтрация $\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}$ , то $\{X_t\}\,\!$ называют просто суб(супер)мартингалом.

[править] Свойства

Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
Если $\{X_t\}\,\!$ — мартингал, то $\mathsf{E}X_t = \mathrm{const}$ .
Если $\{X_t\}\,\!$ — субмартингал, то $\{-X_t\}\,\!$ — супермартингал.
Если $\{X_t\}\,\!$ является мартингалом, а $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — выпуклая функция, то $\{f(X_t)\}\,\!$ — субмартингал. Если $f\,\!$ — вогнутая функция, то $\{f(X_t)\}\,\!$ — супермартингал.
Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом. Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.

[править] Пример

Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении "орла" игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении "решки" проигрывает 1 руб. Тогда

если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
если выпадение "орла" более вероятно, то состояние игрока - субмартингал;
если выпадение "решки" более вероятно, то состояние игрока - супермартингал.