Параллелограмм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Параллелогра́мм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник и ромб.

Содержание 1 Свойства 1.1 Доказательство свойств 2 Признаки параллелограмма 2.1 Доказательство признаков 3 Площадь 4 См. также

[править] Свойства

1. Противоположные стороны параллелограмма равны (|AB| = |CD|, |AD| = |BC|).
2. Противоположные углы параллелограмма равны (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).
3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (|AO| = |OC|, |BO| = |OD|).
4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон (|AC|² + |BD|² = |AB|² + |BC|² + |CD|² + |AD|²).

[править] Доказательство свойств

Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника ABD и BCD, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне BD равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB||CD, BC||AD, где BD - секущая. Из равенства треугольников следует: |AB|=|CD|, |AD|=|BC| и ∠A = ∠С. Противоположные углы ∠B и ∠D также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.

Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠A и ∠D, дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.

[править] Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны (|AB| = |CD|, |AD| = |BC|).
2. Противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).
3. Две противоположные стороны равны и параллельны (|AB| = |CD|, AB || CD).
4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам (|AO| = |OC|, |BO| = |OD|).

[править] Доказательство признаков

• Пусть четырёхугольник ABCD такой что: |AB| = |CD| и |BC| = |AD|.

Проведем диагональ BD, мы получим два треугольника, которые равны, так как у них BD - общая сторона, |AB| = |CD| и |BC| = |AD| (из условия). Из равенства этих треугольников следует: ∠BAC = ∠ACD и ∠ BCA = ∠CAD и вследствие этого AB||CD и BC||AD.

• Пусть четырёхугольник ABCD такой что: BC || AD и |BC| = |AD|.

Треугольники ABC и BCD равны (см предыдущее доказательство) => ∠BAC = ∠ACD. Таким образом AB||CD.

[править] Площадь

Площадь параллелограмма можно найти по следующим формулам:

[править] См. также

• Трапеция
• Прямоугольник
• Ромб
• Дельтоид