ガリレイ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

ガリレイ変換（ガリレイへんかん）とはある慣性系における物理現象の記述を別の慣性系での記述に変換するための座標変換の方法の一つである。相対論的効果を考慮していないので厳密には正しくないが、日常生活で接する程度の速度では近似的に成り立つ。なお相対論的効果も考慮した変換はローレンツ変換を参照。

座標系 $x, y, z, t$ で表される慣性系 $S$ に対して、座標系 $x', y', z', t'$ で表される慣性系 $S'$ が速度 $V c x$ で相対運動しているとする。ただし運動方向を $x$ 軸と $x'$ 軸の正方向とし、 $y$ 軸と $y'$ 軸および $z$ 軸と $z'$ 軸の方向も一致させる。このとき慣性系 $S$ から慣性系 $S'$ へのガリレイ変換は次のように定義される。

$x'=x-t Vc_x,\ y'=y,\ z'=z,\ t'=t$

ここで $x - t$ 座標と $x' - t'$ 座標のみを図示すれば次のようになる。

図1.座標格子のガリレイ変換

図2.ガリレイ変換。左図は慣性系 $S$ を直交座標で示し、右図は慣性系 $S'$ を直交座標で示す。

上記の式を時間微分すると

y, z, t

は時間に対して一定なので

V' x = V x - V c x

V x = V' x + V c x

となる。

このようにガリレイ変換が成立するという主張は速度の足し算が可能であるという主張を含むのである。

[編集] 解説

ガリレイ変換がどのようなものかを理解するために次のような例を考える。

西向きに時速 30 km ではしっている電車にピッチングマシーンとそれを操作する人（A とする）が電車上の同じ場所にとどまって乗っている。また電車の外に立っている人（B とする）がいる。ここで西向きを x 軸、鉛直方向上向きを z 軸、これらに垂直な向き（ここでは右手系を採用することにするので北向き）を y 軸にとる。

時刻 $t = 0$ に A がいた位置を原点ととることにする。大地に固定された慣性系（すなわちBの視点）から見ると A の位置は $t = 0$ では $x = 0$ , $y = 0$ , $z = 0$ であり、任意の時刻においては

$x=t[\mbox{h}] \times 30[\mbox{km/h}],\ y=0,\ z=0$

である。一方電車とともに移動する慣性系から見ると A はずっと動かないから A の座標は恒等的に $x' = 0$ , $y' = 0$ , $z' = 0$ である。

さてここで具体例として A がピッチングマシーンを時速 100 km の設定にして電車の進行方向にボールを発射したとする。A の視点から見ると A 自身は電車の中の一所にとどまっておりボールは時速 100 km で西向きに飛んでいったように見える。しかしここで大地に固定された慣性系（すなわちBの視点）からこの現象を見るとどうなるだろう。ボールはピッチングマシーンの設定速度 100 km に電車の速度 30 km をくわえた 130 km で西向きに飛んでいるように見えるのでは有るまいか?

以上の記述はガリレイ変換が成立する場合には正しい。上記のような状況では実際の観測結果とガリレオ変換の主張は一致するであろう。相対論的な効果によるずれはこの場合非常にわずかであり、空気抵抗・万有引力その他の外乱要因よりもはるかに小さいためどんなに精密な測定をしても検出することは不可能である。

しかし、より速い速度では相対論的効果によるずれがより大きくなり観測にもかかる。一般的に相対論的効果があらわに現れるのは光速の 10% よりも早い場合だといわれている。

[編集] ガリレイの相対性原理

一般に相対性原理というとアインシュタインのものが有名であるが、相対性原理は他にもある。それはガリレイ変換と関係のあるガリレオの相対性原理である。

相対性原理とはどのような慣性系においても同じ物理法則が成り立つという主張である。ガリレイの相対性原理はガリレイ変換によって変換するあらゆる慣性系において物理法則が不変であるという主張である。

ニュートン力学の運動方程式（のベクトル表現）

$\vec{F} = m\vec{a}$

には座標の二回微分（=速度の一回微分つまり加速度。式中における $\vec{a}$ ）しかでてこないので、ガリレイ変換をしても運動方程式には影響しない。つまりガリレイ変換に対して式の形が変わらない。このようなことをさして「ニュートン力学はガリレイ変換に関して共変な理論である」という。ニュートン力学はガリレイの相対性原理の要請を満たす。