Свёртка (математический анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Свёртка фу́нкций в функциональном анализе — это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Содержание

1 Свёртка функций
- 1.1 Свойства
2 Свёртка на группах
3 Свёртка мер
- 3.1 Cвойства
- 3.2 Свёртка распределений
4 Ссылки

[править] Свёртка функций

Пусть $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — две функции вещественной переменной, интегрируемые относительно меры Лебега. Тогда их свёрткой называется функция

$f * g (t) = \int\limits_{\mathbb R} f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$ .

[править] Свойства

Коммутативность:

f * g = g * f

Ассоциативность:

f * (g * h) = (f * g) * h

Дистрибутивность:

f * (g + h) = (f * g) + (f * h)

;

Ассоциативность умножения на скаляр:

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g), \quad \forall a \in \mathbb{R}$ .

Правило дифференцирования:

D(f * g) = D f * g = f * D g

где $D f$ обозначает производную функции $f$ .

Свойство Фурье-образа:

$\mathcal{F}[f * g] = \mathcal{F} [f] \cdot \mathcal{F} [g]$ ,

где $\mathcal{F}[f]$ обозначает преобразование Фурье функции $f$ .

[править] Свёртка на группах

Пусть $G$ — группа Ли, оснащённая мерой Хаара $m$ , и $f,g:G \to \mathbb{R}$ — две функции, определённые на $G$ . Тогда их свёрткой называется функция

$f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G$ .

[править] Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ и две меры $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ . Тогда их свёрткой называется мера

$\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ,

где $\mu \otimes \nu$ обозначает произведение мер $μ$ и $ν$ .

[править] Cвойства

Пусть $μ,ν$ абсолютно непрерывны относительно меры Лебега $m$ . Обозначим их производные Радона — Никодима:

$f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}$ .

Тогда $μ * ν$ также абсолютно непрерывна относительно $m$ , и её производная Радона — Никодима $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$ имеет вид

f μ * ν = f μ * f ν

Если $μ,ν$ — вероятностные меры, то $μ * ν$ также является вероятностной мерой.

[править] Свёртка распределений

Если $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ — распределения двух независимых случайных величин $X$ и $Y$ , то

$\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y$ ,

где $\mathbb{P}^{X+Y}$ — распределение суммы $X + Y$ . В частности, если $X, Y$ абсолютно непрерывны и имеют плотности $f X, f Y$ , то случайная величина $X + Y$ также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

f X + Y = f X * f Y

[править] Ссылки

Методы сжатия

Методы сжатия без потерь	Теория: Энтропия · Сложность · Избыточность Энтропийное сжатие: Алгоритм Хаффмана · Адаптивный алгоритм Хаффмана · Арифметическое сжатие (Алгоритм Шеннона — Фано · Интервальное) · Коды Голомба · Дельта · Универсальный код (Elias · Fibonacci) Словарные методы: LZ77/78 · LZW · LZO · DEFLATE · LZMA · LZX Другие: RLE · BWT · PPM
Методы сжатия аудио	Теория: Свертка · PCM · Алиасинг · Теорема Котельникова Составные части аудиокодеков: LPC (LAR · LSP) · WLPC · CELP · ACELP · A-law · Mu-law · MDCT · Преобразование Фурье · Психоакустичская модель Разное: Dynamic range compression · Speech compression · Sub-band coding
Методы сжатия изображений	Термины: Цветовая модель · Пиксел · Прореживание цвета · Артефакты сжатия Методы: RLE · Фрактальный · Wavelet · SPIHT · ДКП · ПКЛ Разное: Битрейт · Сжатие с вейвлет · PSNR ·
Сжатие видео	Термины: Характеристики видео · Кадр · Типы кадров · Качество видео Составные части видеокодеков: Компенсация движения · ДКП · Квантование Разное: Видео кодеки · Rate distortion theory (CBR · ABR · VBR)

Категории: Математический анализ | Функциональный анализ

Свёртка (математический анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Свёртка функций

[править] Свойства

[править] Свёртка на группах

[править] Свёртка мер

[править] Cвойства

[править] Свёртка распределений

[править] Ссылки

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках