Lindemann-Weierstrassov izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Lindemann-Weierstrassov izrek je izrek v matematiki, ki je zelo uporaben pri ugotavljanju transcendentnosti števil. Izrek se glasi:

Če so α₁,...,α_n različna algebrska števila in β₁,...,β_n poljubna argebrska števila različna od 0, potem velja:

Transcendentnosti števil e in π sta neposredni posledici tega izreka. Pri dokazu transcendentnosti e je potrebno pokazati, da če je e algebrski, potem obstajajo takšna racionalna števila β₀,...,β_n, ki niso vsa enaka 0, da velja

Ker je vsako racionalno število algebrsko, to nasprotuje Lindemann-Weierstrassovemu izreku in e mora biti transcendentno število.

Pri dokazovanju transcendentnosti števila π predpostavimo, da je algebrsko. Ker množica vseh algebrskih števil tvori obseg, to nakazuje, da so tudi πi in 2πi algebrska. Če vzamemo β₁ = β₂ = 1, α₁ = πi, α₂ = 2πi, nam Lindemann-Weierstrassov izrek da enačbo (glej Eulerjeva enačba v kompleksni analizi):

To protislovje pokaže transcendentnost števila π.

Izrek se imenuje po Carlu Louisu Ferdinandu von Lindemannu in Karlu Weierstraßu.