Инјективно пресликавање

Из пројекта Википедија

Још једно инјективно пресликавање

Пресликавање које није инјективно

У математици, инјективно пресликавање или инјективна функција је функција која различите аргументе пресликава у различите вредности. Прецизније речено, за функцију f се каже да је инјективна ако пресликава свако различито x из свог домена у различито y из свог кодомена, тако да f(x) = y.

Другим речима, f је инјективна ако f(a) = f(b) имплицира a = b (или a ≠ b имплицира f(a) ≠ f(b)), за свако a, b унутар домена.

Инјективна функција се назива инјекцијом (ињекција је неправилно), или 1-1 (један-један) функцијом, и каже се да она чува информације

[уреди] Примери и контрапримери

За сваки скуп X, функција идентитета на X је инјекција.
Функција f : R → R дефинисана као f(x) = 2x + 1 је инјекција.
Функција g : R → R дефинисана као g(x) = x² није инјективна, јер (на пример) g(1) = 1 = g(−1). Међутим, ако се g редефинише тако да њен домен буде скуп ненегативних реалних бројева [0,+∞), тада је g инјекција.
Експоненцијална функција $\exp : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^+ : x \mapsto \mathrm{e}^x$ је инјекција.
Природни логаритам $\ln : (0,+\infty) \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}$ је инјективна функција.
Функција g : R → R дефинисана као $g (x) = x 3 - x$ није инјективна, јер на пример, g(0) = g(1).

Општије речено, када су X и Y скупови реалних бројева, R, тада је инјективна она функција f : R → R чији график ниједна хоризонтална права не пресеца више од једанпут.

[уреди] Инјекције су инвертибилне

Још једна дефиниција инјективне функције је да је то функција чији ефекат може да се поништи. Прецизније, f : X → Y је инјективна ако постоји функција g : Y → X, таква да g(f(x)) = x за свако x из ´ X; то јест, g o f је једнако функцији идентитета на X.

Треба имати у виду да g не мора бити комплетни инверз од f, јер композиција у другом редоследу, f o g, не мора бити функција идентитета на Y.

Да би се инјективна функција f : X → Y претворила у бијективну (и стога инвертибилну) функцију, довољно је да се њен кодомен Y замени њеним опсегом J = f(X). То јест, нека је g : X → J такво да g(x) = f(x) за свако x из X; тада је g бијекција. Заиста, f може вити факторисана као incl_J,Yog, где је incl_J,Y инклузиона функција из J у Y.

[уреди] Остала својства

Ако су f и g инјективне, тада је и f o g инјекција.

Инјективна композиција

Ако је g o f инјекција, тада је и f инјекција (али g не мора да буде).
f : X → Y је инјекција ако и само ако за било које функције g, h : W → X, кад год је f o g = f o h, тада g = h.
Ако је f : X → Y инјекција, и A је подскуп од X, тада је f⁻¹(f(A)) = A. Стога A може да се добије назад из своје слике f(A).
Ако је f : X → Y инјекција, и A и B су подскупи X, тада је f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
Свака функција h : W → Y може да се декомпонује у h = f o g за одговарајућу инјекцију f и сурјекцију g. Ова декомпозиција је јединствена до на изоморфизам, и f се може посматрати као инклузиона функција опсега h(W) од h као подскупа кодомена Y од h.
Ако је f : X → Y инјективна функција, тада Y има најмање онолико елемената колико има X, у смислу кардиналности.
Ако су X и Y коначни скупови са истим бројем елемената, тада је f : X → Y инјекција ако и само ако је f сурјекција.