פונקציה חד חד ערכית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פונקציה $f:X\rarr Y$ תקרא חד-חד ערכית ובקיצור חח"ע (או "אינג'קטיבית") אם לכל $\ y$ בטווח $\ Y$ קיים לכל היותר $\ x$ אחד בתחום $\ X$ המקיים $\ f(x)=y$ .

בניסוח אחר, יהיו $\ x,y$ איברים בתחום. $x=y\iff f(x)=f(y)$ .

על ולא חח"ע	חח"ע ולא על
מיפוי - חח"ע ועל	לא חח"ע ולא על

[עריכה] דוגמאות

תהי $\ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ המוגדרת כך - $\ f(x)=2x+1$ . פונקציה זו היא חח"ע מאחר ש -

$x=y \iff 2x=2y\iff 2x+1=2y+1\iff f(x)=f(y)$ .

לעומת זאת, הפונקציה $\ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ המוגדרת כך - $\ g(x)=x^2$ אינה חח"ע כיוון ש $\ g(1)=g(-1)=1$ .
אם נגדיר $\ h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ באותה צורה ( $\ h(x)=x^2$ ), אז $\ h$ היא חח"ע, כיוון שלכל שני מספרים אי-שליליים $\ x,y$ אם $\ x^2=y^2$ $\ x=y$ (הוצאנו את השורש החיובי בלבד כיוון שכל שני מספרים טבעיים הם חיוביים).

[עריכה] תכונות

אם $\ f \circ g$ היא חח"ע אז $\ g$ היא חח"ע.
אם $\ f$ ו $\ g$ שתיהן חח"ע, אזי $\ f \circ g$ חח"ע גם היא.
תהי $\ f:X \rightarrow Y$ . אם לכל שתי פונקציות $\ g,h:Y \rightarrow W$ מתקיים

$h=g\iff h\circ f=g\circ f$ אזי $\ f$ היא חח"ע.

אם $\ f:X \rightarrow Y$ היא חח"ע, $\ A$ ו $\ B$ שתיהן תת קבוצות של $\ X$ , אזי $\ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)$ .
אם $\ f:X \rightarrow Y$ חח"ע אז עוצמת $\ Y$ גדולה/שווה לעוצמת $\ X$ .
אם $\ f:X \rightarrow Y$ חח"ע ועל אזי עוצמת $\ Y$ שווה לעוצמת $\ X$ .