อัลกอริทึมแบบสุ่ม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

บทความนี้ต้องการเก็บกวาด ตรวจสอบ ปรับปรุง แก้ไขรูปแบบ เพิ่มแหล่งอ้างอิง ใส่หมวดหมู่ หรือภาษาที่ใช้ ส่วนใดส่วนหนึ่งหรือในหลายส่วนด้วยกัน คุณสามารถช่วยตรวจสอบ และแก้ไขบทความนี้ได้ด้วยการกดที่ปุ่ม แก้ไข ด้านบน กรุณาเปลี่ยนไปใช้ป้ายข้อความอื่น เพื่อระบุสิ่งที่ต้องการตรวจสอบ หรือแก้ไข ดูรายละเอียดเพิ่มเติมที่ วิธีแก้ไขหน้าพื้นฐาน คู่มือการเขียน และ นโยบายวิกิพีเดีย ซึ่งสามารถดูตัวอย่างบทความได้ที่ บทความคุณภาพ และเมื่อแก้ไขตามนโยบายแล้ว สามารถนำป้ายนี้ออกได้

อัลกอริทึมแบบสุ่ม (randomized algorithm) เป็นอัลกอริทึมที่ยอมให้มีการโยนเหรียญได้ ในทางปฏิบัติ เครื่องที่ใช้ทำงานอัลกอริทึมนี้ จะต้องใช้ตัวสร้างเลขสุ่มเทียม (pseudo-random number generator) ในการสร้างตัวเลขสุ่มขึ้นมา อัลกอรึทึมโดยทั่วๆไปมักใช้บิทสุ่ม (random bit) สำหรับเป็นอินพุตเสริม เพื่อชี้นำการกระทำของมันต่อไป โดยมีความหวังว่าจะช่วยให้มีประสิทธิภาพที่ดีใน "กรณีส่วนมาก(average case)" หรือหากพูดในทางคณิตศาสตร์ก็คือ ประสิทธิภาพของอัลกอริทึมมีค่าเท่ากับตัวแปรสุ่ม (random variable) ซึ่งคำนวณจากบิทสุ่ม โดยหวังว่าจะมีค่าคาดหวัง (expected value) ที่ดี กรณีที่แย่มากที่สุดมักจะมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยมากจนแทบจะไม่ต้องสนใจ

หากลองพิจารณาการหาตัวอักษร a ในอาร์เรย์ขนาด n เมื่อสมมุติว่าครึ่งหนึ่งในอาร์เรย์นี้เป็น a และอีกครึ่งหนึ่งเป็น b วิธีที่เห็นชัดวิธีหนึ่งคือการดูแต่ละตัวในอาร์เรย์ แต่วิธีนี้อาจทำให้ต้องดูถึง n/2 ตัวในกรณีที่แย่ที่สุด (นั่นคือครึ่งแรกของอาร์เรย์เป็น b ทั้งหมด) การพยายามแก้ไขเหตุการณ์นี้โดยเปลี่ยนลำดับการดู เช่น อ่านจากหลังมาหน้า หรืออ่านตัวเว้นตัว ก็ไม่ได้ช่วยให้อะไรดีขึ้นเลย ที่จริงแล้ว วิธีการใดก็ตามที่ลำดับของการตรวจสอบสมาชิกแต่ละตัวถูกกำหนดไว้ตายตัวแล้ว (นั่นคือ เป็นอัลกอริทึมดิเทอร์มินิสติก) เราจะไม่สามารถรับประกันได้เลยว่าอัลกอริทึมจะทำงานสำเร็จอย่างรวดเร็ว ในทุกๆอินพุทที่เป็นไปได้ แต่ถ้าหากเราตรวจสอบสมาชิกในอาร์เรย์แบบสุ่ม(ไม่มีลำดับที่แน่นอน) มีความน่าจะเป็นสูงที่เราจะสามารถหา a พบในเวลาอันรวดเร็ว ไม่ว่าอินพุทจะเป็นเช่นไรก็ตาม

ลองจินตนาการว่าเราจะต้องเผชิญหน้ากับ "ผู้ประสงค์ร้าย" ที่เก่งกาจอย่างคาดไม่ถึง กล่าวคือ คนๆนี้สามารถล่วงรู้วิธีการในการจัดการกับปัญหาของอัลกอริทึม และสามารถหาอินพุทที่แย่ที่สุดมาทำให้อัลกอริทึมทำงานได้ประสิทธิภาพไม่ดีได้เสมอ (ดูการวิเคราะห์เชิงแข่งขัน) อย่างไรก็ตามผู้ประสงค์ร้ายคนนี้จะสามารถทำร้ายอัลกอริทึมของเราได้น้อยลง หากอัลกอริทึมไม่ได้มีพฤติกรรมที่แน่นอน (ทำให้ผู้ประสงค์ร้ายไม่สามารถเดาได้ถูก) ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้เองที่ทำให้ การสุ่ม เป็นที่แพร่หลายในวิทยาการเข้ารหัสลับ ในงานประยุกต์ทางด้านการเข้ารหัสลับนั้น ตัวเลขสุ่มเทียมไม่สามารถนำมาใช้ได้ เนื่องจากผู้ประสงค์ร้ายสามารถทายเลขนี้ได้ ทำให้อัลกอริทึมมีลักษณะเป็นแบบดิเทอร์มินิสติกดีๆเท่านั้นเอง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีแหล่งกำเนิดที่สามารถสร้างเลขสุ่มที่แท้จริงได้ หรือไม่ก็ต้องมีตัวสร้างตัวเลขสุ่มเทียมที่มีความปลอดภัยในการเข้ารหัสลับ อีกศาสตร์หนึ่งที่การสุ่มได้หยั่งรากฝังลึกเข้าไปคือคอมพิวเตอร์ควอนตัม (quantum computer)

ในตัวอย่างที่กล่าวมานี้ อัลกอริทึมแบบสุ่มให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอ เพียงแต่ว่ามีความเป็นไปได้อยู่บ้าง ที่อัลกอริทึมจะใช้เวลานานในการทำงาน บางครั้งเราอาจต้องการอัลกอริทึมที่ทำงานได้เร็วในทุกๆสถานการณ์ แต่เราก็ต้องแลกด้วยโอกาสเกิดความผิดพลาด อัลกอริทึมประเภทแรก(ถูกต้องเสมอ แต่อาจใช้เวลานาน)เรียกว่าอัลกอริทึมลาสเวกัส และแบบหลัง(ต้องทำงานเร็ว แต่มีข้อผิดพลาดได้)เรียกว่าอัลกอริทึมมอนติคาร์โล (ตามชื่อของวิธีมอนติคาร์โลที่ใช้ในการจำลอง (simulation)) สังเกตว่าอัลกอริทึมลาสเวกัสทุกอันสามารถแปลงเป็นอัลกอริทึมมอนติคาร์โลได้ โดยการตอบออกไปมั่วๆ หากไม่สามารถหาคำตอบได้ในเวลาที่กำหนด

ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณซึ่งเป็นการศึกษาเกี่ยวกับทรัพยากรทางการคำนวณที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาหนึ่งๆ ได้สร้างแบบจำลองของอัลกอริทึมแบบสุ่มให้เป็นเครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น ทั้งอัลกอริทึมลาสเวกัสและมอนติคาร์โลได้ถูกนำมาพิจารณา รวมถึง "คลาสของความซับซ้อน" หลายๆคลาสก็ได้ถูกนำมาศึกษา คลาสของความซับซ้อนแบบสุ่มแบบที่เป็นพื้นฐานที่สุดคือแบบอาร์พี ซึ่งเป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจที่มีอัลกอริทึมแบบสุ่ม (หรือเครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น) ที่มีประสิทธิภาพ (ทำงานได้ได้ในเวลาโพลิโนเมียล) ที่สามารถตอบว่า "ไม่" ได้ถูกต้องเสมอ และสามารถตอบว่า "ใช่" ได้ โดยมีโอกาสถูกต้องอย่างน้อย 1/2 คลาสส่วนกลับ (complement) ได้แก่โค-อาร์พี และคลาสของปัญหาซึ่งทั้งคำตอบ "ใช่" และ "ไม่" สามารถมีค่าความน่าจะเป็นได้ทั้งคู่ (นั่นคือ ไม่ได้บังคับให้ต้องตอบถูกต้องเสมอ) เรียกว่าซีพีพี(ZPP) สำหรับปัญหาซึ่ง(เชื่อกันว่า)อยู่นอกคลาสนี้ เช่นปัญหาเอ็นพีแบบยาก (ซึ่งแม้แต่อัลกอริทึมแบบสุ่มก็ไม่สามารถแก้ได้) จำเป็นต้องแก้ด้วยอัลกอริทึมแบบประมาณ

ในประวัติศาสตร์ อัลกอริทึมแบบสุ่มเริ่มเป็นที่รู้จัก จากการค้นพบของมิลเลอร์และราบินในปี ค.ศ. 1976 ว่า ปัญหาการตรวจสอบการเป็นจำนวนเฉพาะของตัวเลข สามารถแก้ได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยอัลกอริทึมแบบสุ่ม ในเวลานั้น ยังไม่มีอัลกอริทึมดิเทอร์มินิสติกสำหรับปัญหานี้เลย

การตรวจสอบการเป็นจำนวนเฉพาะมิลเลอร์-ราบินนั้น มีหลักการพื้นฐานอยู่บนความสัมพันธ์ทวิภาค ระหว่างจำนวนเต็มบวกสองตัว k และ n ใดๆ ที่สามารถบอกได้ว่า k "เป็นตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ" n เราสามารถแสดงได้ว่า

• ถ้ามีตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ n แล้ว n เป็นจำนวนประกอบ (หมายความว่า n ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ) และ
• ถ้า n เป็นจำนวนประกอบแล้ว มีอย่างน้อยสามในสี่ของจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่า n ที่เป็นตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ n ได้ และ
• มีอัลกอริทึมที่ทำงานได้รวดเร็วพอ ที่เมื่อให้ค่า k และค่า n อัลกอริทึมสามารถบอกได้ว่า k เป็นตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ n หรือไม่

สังเกตว่าข้อเท็จจริงเหล่านี้ทำให้สรุปได้ว่าปัญหาการทดสอบการเป็นจำนวนเฉพาะอยู่ในโค-อาร์พี สมมุติ n เป็นจำนวนประกอบ ถ้าเราเลือกตัวเลขที่น้อยกว่า n มี 100 ตัว ความน่าจะเป็นที่จะหา "ตัวยืนยัน" ดังกล่าวไม่เจอจะเป็น (1/4)¹⁰⁰ ซึ่งในทางปฏิบัติแล้ววิธีนี้ก็เป็นการทดสอบการเป็นจำนวนเฉพาะที่ใช้ได้วิธีหนึ่ง และอาจจะไม่มีวิธีใดเลยที่ใช้ได้ดีในทางปฏิบัติเมื่อ n มีขนาดใหญ่มาก เราสามารถลดความน่าจะเป็นที่จะเกิดความผิดพลาดให้เหลือเท่าใดก็ได้ โดยการเพิ่มรอบการทำงานให้มากพอ

ดังนั้น ในทางปฏิบัติแล้ว จึงมักไม่ค่อยมีใครสนใจกับโอกาสเกิดความผิดพลาดที่มีเล็กน้อยนี้สักเท่าไร เพราะเราสามารถทำให้มันน้อยลงเท่าไรก็ได้ตามใจปรารถนา ที่จริงแล้ว ถึงแม้ว่าเราจะมีอัลกอริทึมในการตรวจสอบการเป็นจำนวนเฉพาะแบบดิเทอร์มินิสติกที่สามารถทำงานได้ในเวลาโพลิโนเมียลแล้ว มันก็ยังไม่ได้ถูกนำไปใช้แทนวิธีเชิงความน่าจะเป็นแบบเดิมในซอฟต์แวร์ด้านการเข้ารหัสลับ และก็ยังไม่มีใครคิดว่าจะเป็นเช่นนั้นได้ในอนาคตอันใกล้นี้ด้วย

สมมุติว่าเราใช้วิธีเชิงสุ่ม แล้วมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดความผิดพลาดเป็น 2⁻¹⁰⁰⁰ คำถามที่ตามมาคือ ตัวเลขนี้เกิดจากการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์หรือไม่? ถึงแม้ว่าโอกาสผิดพลาดจะน้อยมากเมื่อเทียบกับโอกาสเกิดความผิดพลาดของฮาร์ดแวร์ที่ใช้ทำมัน หรือโอกาสที่คนตรวจบทพิสูจน์จะมองข้ามความผิดพลาดไป แต่จริงๆแล้วการบอกว่ามีความน่าจะเป็นน้อยนี้ ควรให้ความหมายว่าอย่างไรดี?

ควิกซอร์ต น่าจะเป็นอัลกอริทึมที่ใช้จริงที่เราคุ้นเคยที่สุดที่ใช้การสุ่มอย่างได้ผลดีมากๆ อัลกอริทึมนี้ในแบบที่เป็นดิเทอร์มินิสติกต้องใช้เวลา O(n^2) ในการเรียงเลข n ตัว สำหรับอินพุทบางรูปแบบ เช่น อาร์เรย์ที่ถูกเรียงมาอยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม ถ้าอัลกอริทึมสลับตัวในอาร์เรย์แบบสุ่มก่อนที่จะเริ่มทำงาน มันจะมีความน่าจะเป็นสูงที่จะทำงานเสร็จในเวลา O(n log n) สำหรับอินพุททุกรูปแบบ ความแตกต่างระหว่างสองแบบนี้จะมีความสำคัญมาก เมื่อเราต้องจัดเรียงข้อมูลจำนวนมากๆ

ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นกว่าอีกหน่อย คือการใช้อัลกอริทึมเชิงสุ่มแก้ปัญหาทางด้านทฤษฎีกราฟ นี่คืออัลกอริทึมสำหรับแก้ปัญหา การตัดให้น้อยที่สุด(minimum cut)

   หาการตัดน้อยสุด(กราฟไม่มีทิศทาง G) {
       ตราบใดที่ G ยังมีโหนดมากกว่า 2 โหนด ให้ทำ{
           สุ่มเลือกเส้นเชื่อม (u,v) จาก G
           หด (contract) เส้นเชื่อม โดยให้รักษาการมีเส้นเชื่อมหลายเส้น (multi-edge)เอาไว้ 
           ลบลูปทั้งหมดออก
       }
       ให้เส้นเชื่อมที่เหลืออยู่เป็นเอาท์พุท
   }

ในที่นี้ การหดเส้นเชื่อม (u,v) หมายความถึง การเพิ่มโหนดขึ้นใหม่ (ให้ชื่อ w) แล้วให้แทนทุกเส้นเชื่อม (u,x) และ (v,x) ด้วย (w,x) แล้วลบโหนด u และ v ออกจาก G

ให้ n = |V[G]| สามารถแสดงได้ว่า อัลกอริทึมนี้ให้ผลเป็นการตัดที่น้อยที่สุด ด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย n^-2 ดังนั้นหากเราให้มันทำงาน n²log(n) รอบ และเลือกผลลัพธ์ที่มีค่าน้อยที่สุด เราก็จะสามารถหาการตัดที่น้อยที่สุดได้ด้วยความน่าจะเป็นสูง

[แก้] อ้างอิง

1. R. Motwani and P. Raghavan. Randomized Algorithms. Cambridge University Press, New York (NY), 1995.
2. M. Mitzenmacher and E. Upfal. Probability and Computing : Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis. Cambridge University Press, New York (NY), 2005.