Метод трапецій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Функція f(x) (синій колір) апроксимується лінійною функцією (червоний колір).

В математиці, метод трапецій є методом наближеного обчислення значення визначеного інтегралу

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx.$

Ідея метода трапецій полягає в наближенні області під графіком функції $f (x)$ трапецією та обчисленні її площі^[1]. Якщо застосувати цю ідею безпосередньо до інтервалу $[a, b]$ , то отримаємо

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \frac{f(a) + f(b)}{2}(b-a),\quad (*)$

але це незадовільно з приводу великої похибки.

Для точнішого обчислення значення інтегралу, слід попередньо розбити інтервал інтегрування $[a, b]$ на $n$ підінтервалів $[a,x_1],[x_1,x_2],\ldots,[x_{n-1},b],$ та застосувати формулу (*) до кожного із них. Таким чином, отримуємо:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n \frac{f(x_i)+f(x_{i-1})}{2}\Delta x_i,$

де $Δ x i = x i - x i - 1, x 0 = a, x n = b .$

У методі трапецій переважно застосується розбиття інтервалу інтегрування на $n$ рівні відрізків довжиною $h = Δ x = (b - a) / n .$ Тоді попередня формула перетворюється на таку:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \left(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right)h,$

і похибка, так званий залишковий член $E (f)$ не перевищує за $\frac{(b-a)^3M}{12n^2},$ де $M=\operatorname{max}\{|f''(x)|:x\in[a,b]\}$ — це максимум другої похідної функції $f (x)$ на всьому інтервалі^{[Джерело?]}. Відзначимо, що за збільшення числа $n$ інтервалів розбиття, залишковий член зменьшується як $O (1 / n 2).$