Vẻ đẹp của toán học

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Mục lục

1 Nét đẹp qua những con số
2 Nét đẹp qua các công thức
3 Nét đẹp trong các phương pháp chứng minh
4 Nét đẹp trong các kết quả tìm ra
5 Nét đẹp trong sự bí ẩn
6 Bức tranh nghệ thuật của toán học
7 Xem thêm

[sửa] Nét đẹp qua những con số

[sửa] Nét đẹp qua các công thức

[sửa] Nét đẹp trong các phương pháp chứng minh

Các nhà toán học miêu tả các phương pháp chứng minh của mình một cách thanh nhã. Phụ thuộc vào nội dung của bài toán, họ có thể:

Chứng minh bằng việc sử dụng một cách ít nhất các giả thiết hay kết quả ban đầu.
Chứng minh bằng cách biến đổi một cách ngạc nhiên một kết quả từ những định lý tưởng chừng như không có mối liên hệ gì với bài toán.
Chứng minh bằng một phương pháp hay hướng đi hoàn toàn mới mẻ.
Chứng minh theo một phương pháp tổng quát, từ đó có thể giải quyết được nhiều bài toán tương tự khác.

Trong công việc nghiên cứu một cách chứng minh thanh nhã, các nhà toán học đi theo nhiều con đường chứng minh khác nhau để dẫn tới kết quả, cách chứng minh đầu tiên chưa chắc đã là cách chứng minh hoàn hảo nhất. Định lý Pytago, $a 2 = b 2 + c 2$ , là một ví dụ điển hình vì nó có rất nhiều các cách chứng minh được đưa ra.

Một ví dụ khác là Định lý tương hỗ bậc II (quadratic reciprocity), riêng Carl Friedrich Gauss đã đưa ra trên 10 cách chứng minh khác nhau cho định lý này. Định lý tương hỗ phát biểu:

Nếu tồn tại một số nguyên hữu tỉ x và các số nguyên dương n, p, q sao cho $x^n = q \ (mod \ p)$ , q được gọi là [[phần dư bậc n]] của p khi và chỉ khi $x^n = q \ (mod \ p)$ có khả năng tìm được nghiệm x.

Định lý tương hỗ (hay định lý nghịch đảo) là sự liên hệ giữa "q là phần dư bậc n của p" và "p là phần dư bậc n của q". Viết theo ký hiệu của Adrien-Marie Legendre là: $\frac{q}{p}$ và $\frac{p}{q}$ . Với trường hợp n = 2, gọi là Định lý tương hỗ bậc II, được Gauss đưa ra chứng minh hoàn thiện lần đầu tiên. Gauss đồng thời cũng giải quyết với trường hợp n = 3, gọi là Định lý tương hỗ bậc III, sử dụng dạng nguyên $a + b β$ , trong đó β là nghiệm của phương trình $x 2 + x + 1 = 0$ và a', b là các số nguyên hữu tỉ.

Gauss có gợi ý với trường hợp n = 4 (Định lý tương hỗ bậc IV), sử dụng số nguyên Gaussian (một số nguyên Gaussian là một số phức có dạng a + bi, trong đó a và b là các số nguyên).

Phần chứng minh tổng quát, với bậc n là số nguyên tố, được đưa ra bởi Ferdinand Eisenstein trong những năm 1844–1850, và Ernst Eduard Kummer trong những năm 1850–1861. Và định lý tương hỗ dạng tổng quát với mọi n được chứng minh bởi Emil Artin vào những năm 1920, do đó, định lý này còn gọi là Định lý tương hỗ Artin.

Nhà toán học người Hung Paul Erdos thì tưởng tượng rằng Thượng Đế có một cuốn sách chứa tất cả những các chứng minh đẹp đẽ nhất trong toán học. Mỗi khi Erdos muốn miêu tả một cách chứng minh độc đáo, ông đều nói "Cách chứng minh ấy nằm trong cuốn sách này đó".

Ngược lại, các kết quả từ suy luận lôgic, chứa các bước tính tỉ mỉ, không được xếp vào hàng các cách chứng minh thanh nhã, mà gọi là các chứng minh khó coi hay thô kệch. Ví dụ những cách chứng minh phụ thuộc vào việc giới hạn các trường hợp riêng biệt, như phương pháp vét cạn được sử dụng trong chứng minh Định lý bốn màu.

[sửa] Nét đẹp trong các kết quả tìm ra

Các nhà toán học nhận ra cái đẹp trong các kết quả của bài toán, như việc nó liên hệ giữa hai lĩnh vực toán học, mà với cái nhìn đầu tiên ta sẽ cho rằng chúng hoàn toàn không có mối liên hệ gì với nhau. Những kết quả như này được coi là độc đáo và sâu sắc.

Một trong những kết quả sâu sắc đó chính là biểu thức Euler $e i x = c o s x + i s i n x$ , được Richard Feynman cho là "công thức đặc biệt nhất trong toán học".

Một ví dụ khác chính là định lý Taniyama-Shimura, định lý này được phát biểu một cách ngắn gọn như sau: "mọi đường cong ellip trên tập Q đều là modular". Nó là cầu nối quan trọng giữa đường cong ellip, một khái niệm trong hình học đại số, và các dạng modular, là những hàm holmorphic tuần hoàn được miêu tả trong lý thuyết số. Tên gọi của định lý này bắt nguồn từ giả thuyết Taniyama-Shimura, còn phần chứng minh được hoàn thành bởi Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond và Richard Taylor.

[sửa] Nét đẹp trong sự bí ẩn

Một số nhà toán học biểu lộ niềm tin về toán học như với những thuyết thần bí. Tiêu biểu là nhóm Pythagoras, họ là những nhà toán học và triết gia sống ở những năm 582–496 trước công nguyên, là những người "khai sinh ra các con số" và tin tưởng một cách xác thực về các con số này. Họ tin vào sự tuyệt đối của các con số, do đó đã không chấp nhận việc Hippasus chứng minh sự tồn tại của số vô tỉ.

Còn Galileo Galilei, một nhà vật lý nổi tiếng thì cho rằng "Toán học là ngôn ngữ mà Thượng đế đã viết lên vũ trụ".

Một nhà vật lý khác là Johannes Kepler tin tưởng rằng tỷ số của các vòng quỹ đạo của các hành tinh trong hệ Mặt Trời đã được xắp sếp bởi bàn tay Thượng đế, để tương ứng với sự dàn xếp đồng tâm của năm khối Platonic, mỗi quỹ đạo nằm trên đường tròn ngoại tiếp của một đa diện (đa giác?), và tiếp xúc với nhau.

Paul Erdos thì biểu lộ quan điểm của mình về sự không thể diễn tả được của toán học khi ông nói rằng "Tại sao các con số lại mang một vẻ đẹp? Nó giống như việc hỏi tại sao bản Giao hưởng số 9 của Beethoven lại đẹp. Nếu bạn không nhận ra nó thì người khác không thể nói cho bạn được. Tôi biết các con số là đẹp. Chúng mà không đẹp thì chẳng có thứ gì là đẹp nữa."