矩阵的秩

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在线性代数中，矩阵的行秩定义为矩阵中线性无关的行的数目的最大值。这个值等于矩阵中线性无关的列的数目的最大值，也就是矩阵的列秩。这个值就定义为矩阵的秩。

假设矩阵A的列秩为r，记矩阵A的列向量为，于是能找到r个线性无关的列向量，使得等式只有零解。另一方面，可知此线性方程组只有零解当且仅当它的行向量组的秩。于是能在此线性方程组的系数矩阵中找到r个线性无关的行向量。注意到这些行向量是由矩阵A的行向量缩短得到的。给这些行向量增加若干个分量，我们就得到矩阵A的r个线性无关的行向量。因此矩阵A的行秩必然列秩。同样可证矩阵A的列秩行秩。所以行秩等于列秩。记之为矩阵的秩。

易知初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。结合前文可知，无论对矩阵施以初等行变换还是初等列变换都不能改变矩阵的秩。这样就可以经由初等行变换和初等列变换，把任意矩阵变为类似下面的形式：

其中1只出现在对角线上，其它各处都是0。显然其中1的个数就是矩阵的秩。